arXiv雑要約
数値解析 - 2026/03/20 公開
半離散型アクティブフラックス法と不連続ガレルキン法の同値性と性能比較 [math.NA, cs.NA]目的：半離散型アクティブフラックス法と不連続ガレルキン法の同値性
- 数値シミュレーションにおいて，高精度かつ効率的な解法が不可欠である。
- 不連続ガレルキン法は柔軟性を持つが，計算コストが高い場合がある。
- アクティブフラックス法と不連続ガレルキン法の関係を明らかにし，より効率的な解法を模索する。
- 線形および非線形問題において，半離散型アクティブフラックス法と不連続ガレルキン法は本質的に同一である。
- アクティブフラックス法は，不連続ガレルキン法と比較して，同じ自由度数でより高次の近似精度を実現可能である。
- 不連続ガレルキン法の超収束性は，アクティブフラックス法の背景にある高次スキームとして理解できる。
Biot方程式の任意階完全混合有限要素離散化における分割戦略 [math.NA, cs.NA]目的：Biot方程式の完全混合定式化における分割戦略
- 地盤工学や流体工学において，多孔質媒体の挙動を正確に予測することは重要である。
- Biot方程式の混合定式化は安定性の確保が難しく，適切な有限要素法を選定する必要がある。
- 弾性応力テンソルの対称性を弱く強制することで，安定性と精度を両立する手法を開発する。
- 任意階の離散空間族に対し，inf-sup安定性が確立され，最適な事前誤差評価が得られた。
- 古典的な固定応力分割戦略に加えて，チューニングを施した反復分割戦略が調査され，収束性と収束レートが理論的に証明された。
- Schur補完のアイデアに沿って，負の安定化が有効であることが理論的に示された。
疎なランダム特徴拡張のためのクリストフェル適応サンプリング [math.NA, cs.NA]目的：疎なランダム特徴拡張におけるサンプリング効率の向上
- 多変量関数の近似や偏微分方程式の効率的な解法において，ランダム特徴モデルは重要な役割を果たす。
- データが少ない状況では，従来のランダム特徴モデルの性能が低下する可能性がある。
- 本研究は，限られたデータでも高精度な近似を実現するサンプリング手法を開発する。
- クリストフェル関数を用いた適応サンプリングにより，サンプル点の分布を最適化できる。
- 数値実験の結果，適応サンプリングは非適応サンプリングと比較して高い精度を維持し，サンプル数を削減できることが示された。
- 本手法は，データ収集コストが高い科学計算タスクにおいて有効であると考えられる。
対称双曲型保存則の連続和分法によるエントロピー安定離散化の収束性 [math.NA, cs.NA]目的：対称双曲型保存則に対するエントロピー安定連続和分法離散化の収束性
- 双曲型偏微分方程式は，流体，電磁波など多くの物理現象を記述する上で重要である。
- 非線形問題において，安定性と一貫性だけでは収束性を保証できず，十分な結果が得られていない。
- エントロピー安定離散化における一般的な収束結果の不足を解消し，数値解の収束性を明確に示す。
- エントロピー安定なスプリット形式離散化に対して，解とフラックスが滑らかな場合の収束性が証明された。
- メッシュ間隔が十分に小さく，次数pのC-SBP離散化においてp>1+d/2を満たす場合，有限時間間隔で誤差が有限に保たれることが示された。
- 一貫性，エントロピー安定性，非線形誤差増大，収束性間の関係を明らかにし，数値シミュレーションの信頼性向上に貢献する。
ウェーブレットに基づくグリッド適応と高次の鋭い浸漬幾何形状の一貫した処理 [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：偏微分方程式の解法における適応グリッド細分化のための数学的に厳密な手法
- 数値シミュレーションの精度向上には，計算コストを抑えつつ解空間を効率的に表現するグリッド最適化が不可欠である。
- 浸漬幾何形状を持つ問題では，標準的なウェーブレット変換が一貫性を失い，精度が低下する。
- 鋭い浸漬幾何形状においても高次の精度を維持できるウェーブレット変換適応戦略を開発すること。
- 提案手法は，1次元多項式外挿技術を用いることで，狭い区間においても一貫した高次のウェーブレット変換を実現する。
- この手法は，複雑な形状や動く境界を持つ問題において，ユーザー定義の細分化閾値と全体の解誤差との間に安定した関係を確立する。
- Navier-Stokes方程式を含む静的および動的問題に対する検証により，提案手法の有効性が確認された。
吹上現象の解決：平均場神経ネットワークにおける多発射イベントの時分割数値フレームワーク [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：平均場神経ネットワークにおける多発射イベントの数値的解析
- 大規模神経ネットワークは，脳機能理解の基礎であり，そのダイナミクス解明は重要である。
- 従来の数値手法では，発火率の特異点である吹上現象の解析が困難であった。
- 時分割を用いることで，吹上現象を解消し，多発射イベントを詳細にシミュレーションすることを目指す。
- 提案手法は，発火活動に比例した時間スケール変換により，吹上現象を解消し，解決可能な過程へと変化させる。
- この手法は，多発射イベントの根底にある微視的なカスケード機構とシステムの脆弱性と整合性を示す。
- 数値検証により，提案手法が定常状態を高精度に捉え，かつ周期的な多発射イベントを効率的に再現することを示した。
Born級数に着想を得た残差計量を用いた学習に基づく前置条件付け器 [cs.MM, math.NA, cs.NA]目的：偏微分方程式(PDE)の前置条件付け器を学習するための残差計量
- PDEの数値解法において，計算効率と精度向上が重要であり，前置条件付けはそれを実現する鍵となる技術である。
- 既存の学習に基づく前置条件付け器は，多くの場合，単純なユークリッド計量を使用しており，病的な問題に対しては性能が低下する。
- Born級数に着想を得た残差計量を導入し，学習と反復補正の安定性と効率を向上させる。
- 提案手法は，残差の形状を考慮した新たな損失関数を用いることで，ヘテロなヘルムホルツ方程式において優れた性能を示した。
- 特に，問題がより病的な場合，既存手法と比較して大幅な反復回数の削減が確認された。
- 本手法は，対流拡散方程式や非線形PDEの線形化されたニュートンシステムなど，他の種類のPDEにも適用可能であり，同様の効果が得られた。
単一ピクセルX線変換の再構成：核不拡散検証への応用 [math.NA, cs.NA]目的：単一ピクセルX線変換の数学的性質の調査と，有限個の測定値からの物体再構成手法の開発
- 核軍縮は国際平和と安全保障にとって重要であり，検証技術の進歩が不可欠である。
- 単一ピクセルX線変換の数学的分析は限定的であり，効率的な再構成手法が課題となっていた。
- 本研究は，単一ピクセルX線変換の性質を明らかにし，ノイズを含む測定値からの高精度な物体再構成を目指す。
- 単一ピクセルX線変換が非線形でありながら，連続性，Fr\'echet微分可能性，凸性を有することを示した。
- Douglas-Rachford分割と全変動正則化に基づく，有限個の測定値からの物体再構成手法を提案した。
- 回転対称な物体に特化した実装を行い，一次元全変動正則化アルゴリズムの適用により効率的な再構成を可能にした。
IPA-AC法の収束性解析 [math.NA, cs.NA]目的：IPA-AC法の収束性に関する理論的枠組み
- 連続体力学における非メッシュ法は，複雑形状や大規模変形問題への応用が期待され，重要性が高まっている。
- 境界条件処理が非メッシュ法の精度を左右するため，境界近傍での誤差抑制が課題となっていた。
- IPA-AC法の収束性を理論的に評価し，誤差の振る舞いを明らかにすることで，適切なパラメータ設定の指針を示す。
- 固定されたhorizon δに対して，メッシュサイズhに関する2次収束性 $\mathcal{O}(h ^{2})$ を理論的に証明した。
- メッシュサイズが固定された場合，離散化誤差はhorizonの逆数の2乗に比例し，δへの依存性があることが示された。
- IPA-AC法が漸近適合条件を満たさないことが明らかになり，局所極限への近似には十分なδ/h比が必要であることが示唆された。
脳血管血行動態のPOD-Galerkin法とReservoir Computingに基づくモデル次数削減 [math.NA, cs.LG, cs.NA]目的：脳血管血行動態シミュレーションのモデル次数削減手法
- 脳卒中予防など，脳血管系の理解は医療において重要である。
- 高精度なシミュレーションは計算コストが高く，リアルタイム解析が困難である。
- 計算コストを抑えつつ，高精度な血行動態予測を可能とする手法を開発する。
- POD-Galerkin法とPOD-Reservoir Computing法は，フルオーダーシミュレーションと比較して10^2～10^3倍の計算速度向上を達成した。
- 両手法は，壁面せん断応力などの血行動態量を予測する効率的かつ正確な代替モデルとしての可能性を示した。
- 多重調波と多重振幅の訓練信号が，学習効率の向上に貢献した。
多重積分に対する差分公式 [math.NA, cs.NA]目的：差分への積分公式
- 数値計算において積分は基本的な演算であり，高精度な計算が求められる。
- 多重積分の数値評価は計算コストが高く，効率的な手法が課題である。
- 多重積分と差分の関係を明らかにし，数値計算の効率化を目指す。
- ファンデルモンド多項式を含む多重積分と差分が密接に関連することを示す公式を導出した。
- この公式は，差分を計算するための積分公式としても解釈できる。
- ファンデルモンド多項式の純偏微分および混合偏微分がゼロとなることを示した。
非適合グリッドを用いた地質媒体中の不連続面に対する安定化モルタル法 [math.NA, cs.NA]目的：地質媒体中の不連続面シミュレーションにおける安定化モルタル法の提案
- 地下システムの性能と安全性を評価する上で，断層や破砕面の力学挙動の正確な数値シミュレーションが不可欠である。
- 不連続面の離散化表現と，その摩擦接触挙動のロバストなシミュレーションが大きな課題となっている。
- 非適合グリッド上で接触条件を安定的にシミュレーションするためのモルタル法を提案し，安定性を向上させることを目指す。
- 提案手法は，インフ・スープ安定性条件を回復するだけでなく，他の安定な定式化では失敗するような，より細かい非モルタル側においても安定したトラクションプロファイルを得る。
- 本定式化は，片側のみに定義された定数ラグランジュ乗数を使用し，実用性と計算効率の面で利点がある。
- マクロ要素解析を用いて，ユーザがパラメータを選択することなく，安定化の適切なスケーリングを自動的に評価するアルゴリズム戦略を導出した。
拡散モデルの遷移確率密度関数のニューラル・ガレルキン正規化フロー [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：拡散過程の遷移確率密度関数の近似
- 確率的微分方程式は，物理，金融，機械学習など広範な分野で重要である
- 高次元における偏微分方程式の効率的な数値解法が課題である
- 拡散モデルの遷移確率密度関数を効率的に近似する代替モデルの提案
- 本研究では，ニューラル・ガレルキン正規化フローを用いて，初期分布の位置に関するパラメトリックな形で，拡散過程の遷移確率密度関数を近似する枠組みを提案した。
- 正規化フローを用いることで，近似が構造を保存し，非負性や質量保存則を満たすことを保証する。
- 数値実験の結果，本手法は真の解の重要な特徴を捉え，初期データと後続時点の密度関数間の因果関係を強制することが示された。
確率偏微分方程式に対する新しいおよび既存の数値スキームの非漸近的均一時間誤差境界 [math.NA, cs.NA, math.PR]目的：確率偏微分方程式の数値スキームの誤差評価
- 確率偏微分方程式は，物理現象や金融モデリングなど，様々な分野で重要である。
- 既存の数値スキームでは，時間離散化における誤差の制御が困難な場合がある。
- 時間変化に伴う誤差を均一に抑え，長期的な挙動を正確に捉える数値スキームを開発する。
- 非漸近的均一時間誤差境界の一般的な証明手法を開発し，様々な数値スキームに適用した。
- 確率的なAllen-Cahn方程式などの非グローバルLipschitz非線形性を持つSPDEにおいて，半陰解Eulerスキームが有限時間で発散する可能性を示した。
- 全暗解スキームと二つのtamedスキームに対し，誤差境界を証明し，数値比較を行った。
非保存型双曲系に対する効率的な高次のエントロピー保存/安定・均衡化法 [math.NA, cs.NA]目的：非保存型双曲系におけるエントロピー保存性，安定性，均衡性を備えた効率的な数値解法の開発
- 流体シミュレーション等において，物理量の保存則を満たす高精度な数値解法が重要である。
- 非保存型双曲系では，エントロピー保存性を確保することが難しく，数値不安定性を招く可能性がある。
- エントロピー保存性を満たす，アルゴリズムに基づいた新しい数値解法を提案し，その有効性を示す。
- 提案手法は，エントロピー保存性を満たす3点法を有限体積法で完全に特徴付け，SBP法に拡張する。
- 得られたエントロピー保存的な変動を用いたアルゴリズムにより，様々な非保存型双曲系に対する新しい数値解法を導出した。
- 理想気体の圧縮性オイラー方程式や分散型浅水モデルへの適用例を通して，提案手法のロバスト性と精度を確認した。
新生児アトラスに基づく拡散光学トモグラフィへの前方演算子不正確性に関する二線形逆問題 [math.NA, cs.NA]目的：前方演算子の不正確性を考慮した二線形逆問題の解法
- 医療画像をはじめ，産業界など様々な分野で逆問題は不可欠であり，その精度向上が求められている。
- 逆問題における前方演算子は近似に基づくことが多く，その不正確性が課題となっていた。
- 前方演算子の不正確性を考慮した逆問題の解法を確立し，画像再構成の精度向上を目指す。
- 前方演算子の変動を主成分分析(PCA)でモデル化し，二線形テンソル逆問題として定式化した。
- 最適化アルゴリズムとギブスサンプリングを用いて，この問題を近似的に解く手法を提案した。
- 新生児の頭部解剖学的モデルを用いた拡散光学トモグラフィへの応用により，空間分解能とコントラスト対雑音比の改善が確認された。
構造化線形方程式系の解法のためのニューラルネットワークの複雑性に関する上限 [math.NA, cs.NA]目的：構造化線形方程式系の解法に対するReLUニューラルネットワークの複雑性の上限
- 有限要素法など，工学・科学計算の基礎となる線形方程式系の効率的な解法は重要である。
- 大規模な疎行列の線形方程式系を解く計算コストが課題となっている。
- ニューラルネットワークを用いて，線形方程式系の解法を近似し，計算コストを削減することを目指す。
- 対称正定値かつ疎な行列に対するニューラルネットワークの層数とニューロン数の上限を導出した。
- 行列のサイズだけでなく，条件数も考慮した明示的な上限を得た。
- 修正リチャードソン法や共役勾配法など，古典的な解法の有利な特性を活用した。
ミメティック法によるマクスウェル方程式の解法 [math.NA, cs.NA]目的：マクスウェル方程式の解法
- 電磁波解析は，通信，センシング，医療など幅広い分野で不可欠である。
- 従来の数値解法は，離散化誤差や計算コストの問題を抱える場合がある。
- 離散ガウスの法則を厳密に満たすミメティック法を適用し，より高精度な解法を開発する。
- ミメティック有限差分法を1次元および2次元空間において実装し，マクスウェル方程式を解くことができた。
- 提示された数値例（減衰性誘電体スラブとの相互作用，UPML吸収境界条件付きガウスパルス）において，物理的に整合性の取れた結果が得られた。
- MOLEライブラリを用いることで，効率的な実装が可能となった。
適合有限要素を用いた保守的な不連続ガレルキン追跡スキーム [math.NA, cs.NA]目的：スカラートレーサーの保守的な輸送
- 地球流体方程式の数値シミュレーションにおいて，物質の輸送過程は重要な要素である。
- 従来の輸送スキームでは，離散化誤差により質量が保存されない場合がある。
- 本研究は，質量保存性を保証する新しい輸送スキームを提案し，その精度を検証する。
- 本スキームは，混合比の混合比密度と乾燥密度との積のトレーサー密度について，保存則を解くことで質量保存を確実にする。
- Charney-Phillips垂直スタガー配置のいずれにおいても，トレーサー密度を保存し，混合比を一定に保つことで一貫性を維持する。
- ターミネーター玩具化学と湿った上昇気泡を用いたテストにより，物理項との組み合わせや，動的コア設定における水分種の質量保存の正確なモデル化が可能であることが示された。
層状地盤における2次元弾性波グリーン関数の低ランクテンソル近似による効率的な計算 [cs.RO, math.NA, cs.NA]目的：層状地盤における2次元弾性波グリーン関数の効率的な計算手法
- 地盤の動特性評価にはグリーン関数が不可欠であり，様々な工学設計に用いられる。
- 多数の条件でのグリーン関数計算は，計算コストとメモリ使用量の増大を招く。
- グリーン関数の低ランクテンソル近似により，計算負荷とメモリ消費を削減する。
- 提案手法であるGreedy Tucker Approximation（GTA）は，グリーンテンソルを低ランクで表現することにより，メモリ要件を大幅に削減できる。
- 岩盤上の土層と層状半空間の2つのケーススタディで検証され，直接剛性法との比較により有効性が確認された。
- 様々なソース・レシーバー配置，周波数，材料パラメータの組み合わせに対応可能であり，汎用性の高い手法である。
GLENN：ニューラルネットワークを用いたギンツブルク＝ランダウエネルギー最小化解の計算 [cs.CY, cs.SI, math.NA, cs.NA]目的：ギンツブルク＝ランダウエネルギーの最小化解の計算手法
- 超伝導現象の理論的理解に不可欠であり，物性解明やデバイス設計に応用される。
- エネルギー最小化解の計算は数値的に困難であり，計算コストが高いという課題がある。
- ニューラルネットワークを活用し，効率的かつ高精度な計算手法を開発する。
- ニューラルネットワークと有限要素法を組み合わせた新たな計算戦略を提案した。
- パラメータκを変化させながら学習することで，広範囲のκ値に対応可能なモデルを構築した。
- ニューラルネットワークの結果を初期値として用いることで，計算の信頼性を向上させた。
カルーネン・レーヴェ展開の構成における数値的考察 [math.NA, cs.NA, stat.ML]目的：カルーネン・レーヴェ展開の構成に関する数値的な側面
- 確率過程の解析において，効率的な表現手法が不可欠であるため。
- カルーネン・レーヴェ展開の数値計算における精度と効率が課題となっている。
- 数値解法と理論解の整合性を検証し，展開の収束性を評価すること。
- フレドホルム積分方程式に基づく固有値解と，重み付きサンプル行列の特異値分解が数学的に同等であることが示された。
- 指数関数型および二乗指数関数型共分散カーネルに対する解析解をベンチマークとして利用し，数値計算の整合性と精度を評価した。
- サンプル数が増加するにつれて，特異値分解による固有値推定値およびKL係数の経験分布が理論値に収束することが確認された。
基本解法を用いた多重散乱問題の安定かつ高速な解法 [math.NA, cs.NA, math-ph, math.MP, physics.comp-ph]目的：多重散乱問題に対する数値解法
- 音響学や電磁気学において，複雑な構造物からの散乱現象の解析は重要である。
- 多数の物体が存在する場合，従来の数値解法では計算コストが増大し，安定性も損なわれる。
- 基本解法を用いて局所的な散乱行列を構築し，全体問題を効率的に解く手法を提供する。
- 各物体に対する散乱演算子を局所的に高精度に計算し，それらを組み合わせてグローバルな線形システムを構築する。
- 得られた係数行列は良好な条件数を持つため，大規模な散乱体数でも反復解法による効率的な求解が可能である。
- 基本解法のような潜在的に不安定な手法を用いながらも，全体解法のスケーラビリティと数値安定性を維持している。
非線形非圧縮せん断波モデル：超弾性・粘弾性フレームワークにおけるラブ波への応用 [nlin.SI, cs.NA, math-ph, math.AP, math.MP, math.NA]目的：超弾性および粘弾性材料における非線形せん断波の記述
- 材料の非線形挙動の理解は，高強度材料設計や衝撃解析に不可欠である。
- 従来のモデルでは，材料の大きな変形や粘弾性効果を精度良く捉えきれない場合がある。
- 複雑な材料特性を持つ固体中を伝播するせん断波の非線形性を解析する。
- 本研究では，任意のひずみエネルギー密度関数を持つ非圧縮超弾性材料におけるせん断変位を記述する一般式を導出した。
- 数値シミュレーションにより，層構造固体中を伝播するラブ波と自由表面せん断波の非線形挙動を明らかにした。
- 非線形ケースでは，波速は線形ラブ波の存在条件を満たし，長時間の経過とともに，より大きな材料波速に近づくことが示された。
ポリコンの幾何とワックスプレス予想への反例 [math.AG, cs.NA, math.NA]目的：ポリコンの随伴曲線に関する考察
- 有限要素法などの数値解析において，複雑な形状を扱う上で重要な概念である。
- ワックスプレス予想は長年未解決であり，その証明は困難であった。
- ワックスプレス予想に対する反例を提示し，ポリコンの幾何学的構造を解明する。
- 3つの円錐曲線で境界されたポリコンが，ワックスプレス予想への反例となることを示した。
- ポリコンの境界の一部を直線に置き換えることで，随伴曲線間の接触特性が明らかになった。
- 3つの円錐曲線で境界されたポリコンの随伴曲線が，一般的に滑らかであることを証明した。
確率的バーガース方程式におけるノイズ摂動の影響量の定量化 [math.PR, cs.NA, math.AP, math.NA]目的：確率的バーガース方程式を駆動するノイズの摂動に起因する弱誤差と強誤差の上界
- 偏微分方程式の数値解法において，ノイズ項の正確なモデリングは，解の精度に大きく影響する。
- 実際のノイズは有限次元で近似されることが多く，その近似による誤差評価が重要となる。
- 微小なノイズの摂動が，解に与える誤差の上界を数学的に導出すること。
- ノイズの共分散演算子の摂動によって生じる弱誤差は，$\mathcal{O}\big(\| (-A)^{-1^{-} } (Q_1-Q_2) \|_{\mathcal{L}_1(L^2)}\big)$と評価される。
- 同様に，強誤差は$\mathcal{O}\big(\big\| (-A)^{-1/2^{-}}\big|Q_1^{1/2} -Q_2^{1/2}\big| \big\|_{\mathcal{L}_2(L^2)}\big)$と評価される。
- 得られた結果は，トレースクラスノイズを有限次元ノイズで近似した場合の誤差評価に適用可能である。
半分離可能行列に対する量子ブロックエンコーディング [q-bio.MN, cs.MS, quant-ph, cs.ET, quant-ph, cs.NA, math.NA, math.QA]目的：半分離可能行列の量子ブロックエンコーディング手法
- 量子アルゴリズム開発において，行列をユニタリー行列に埋め込む量子ブロックエンコーディングは不可欠である。
- 既存研究は疎行列に偏っており，階数構造を持つデータ疎行列のエンコーディングは十分に進んでいない。
- 本研究は，半分離可能行列に対する効率的なブロックエンコーディング手法を開発し，その問題を解決する。
- 提案手法は，行列を三角行列と対角行列の積として因数分解することでエンコーディングを実現する。
- エンコーディングに必要な補助量子ビット数は$2\log(N)+7$であり，多項式時間で実行可能である。
- エンコーディングにおけるエラーは$\mathcal{O}(N^2)$であることが示された。
ガウスソボレフ空間における関数近似のための最適アルゴリズムの構築 [math.NA, cs.NA]目的：ガウスソボレフ空間における関数近似
- 関数近似は，科学技術計算や機械学習など幅広い分野で不可欠な技術である。
- 高次元空間や複雑な関数に対する効率的な近似アルゴリズムが求められている。
- ガウスソボレフ空間における関数近似の最適な収束レートを達成するアルゴリズムを構築すること。
- 関数評価回数$n$を用いて，ガウスソボレフ空間のオーダー$\alpha$における最適な，あるいはほぼ最適な収束レートを達成する2つの線形近似アルゴリズムを構築した。
- 1つ目のアルゴリズムはスケーリングされた三角補間に基づいており，対数因子を除いて最適なレート$n^{-\alpha}$を達成する。高速フーリエ変換を用いてほぼ線形時間で構築可能である。
- 2つ目のアルゴリズムは，スプライン平滑化に基づき，より複雑であるが最適なレート$n^{-\alpha}$を達成する。
半離散滑らかさモジュラスとその一次および二次の誤差評価への応用 [math.NA, cs.NA, math.FA]目的：半離散滑らかさモジュラスの導入と，点ごとの線形作用素に対する一般的な誤差評価
- 近似理論は，関数をより単純な関数で近似し，誤差を評価することで，数値計算やデータ解析の基盤となる。
- 古典的な滑らかさモジュラスでは，十分な精度が得られない場合や，特定の作用素に対して適用が難しいという問題がある。
- 本研究では，より鋭い誤差評価を可能にする新しい半離散滑らかさモジュラスを導入し，その性質を解明することを目指す。
- 新しい半離散滑らかさモジュラスを定義し，KolomoitsevとLomakoの定義を一般化した。
- Steklov積分の正則化および近似特性を利用し，制約の少ない条件下で，一次および二次の誤差評価を確立した。
- 古典的な平均モジュラスよりも鋭い誤差評価が可能であり，Rathore型の定理とK-関数の新しい概念を導入した。
不定ヘルムホルツ方程式に対するシフトされたHSSソルバー [math.NA, cs.NA]目的：不定ヘルムホルツ方程式の解法
- 工学分野における波動現象の解析は，設計やシミュレーションに不可欠である。
- 高周波領域では，計算コストが膨大になり，効率的な解法が求められている。
- 大規模並列計算機上での効率的な解法を確立し，計算時間を短縮すること。
- 有限要素離散化された不定ヘルムホルツ方程式に対し，ヘルミート偏ヘルミート分解（HSS）を用いた反復解法を提案した。
- 提案手法は，k値やメッシュサイズに依存せず，頑健であることが理論的に証明された。
- マルチグリッド法との組み合わせにより，大規模並列計算が可能となり，計算時間をO(k)に抑えることができることを数値実験で示した。
四元数ブロック多水準トープリッツ行列系列のウェイル分布，スペクトル特性，および巡回近似結果 [math.NA, cs.NA]目的：四元数ブロック多水準トープリッツ行列系列のウェイル固有値および特異値分布
- 現代的な応用において，大規模な線形システムが生じる頻度が高く，効率的な解法が求められている。
- 四元数を用いた行列計算は，数値的な安定性や表現力に優れる一方，計算コストが高いという課題がある。
- 行列の近似や前処理を通じて，計算コストを削減し，大規模線形システムの効率的な解法を実現すること。
- 本研究では，四元数ブロック多水準トープリッツ行列系列に対し，巡回行列系列を近似クラスとして利用する手法を提案した。
- この近似手法により，行列と前処理行列の差を低ノルムと低ランク項に分解することが可能となった。
- 提案手法は，大規模な四元数線形システムに対する高速前処理法の基盤となりうることを数値実験で示した。
平均場ゲームに対するニュートン法：数値的研究 [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：平均場ゲーム問題の数値解法
- 経済学や社会科学において，多数の相互作用するエージェントの振る舞いを分析する上で重要である。
- 高次元空間における平均場ゲーム問題の効率的な数値解法が課題となっていた。
- 無限次元におけるニュートン法の理論的枠組みに基づき，実用的な数値解法を開発すること。
- 無限次元ニュートン反復の有効な計算実装を可能にする，有限差分法と半ラグランジュ法という新たな数値離散化手法を開発した。
- 複数のベンチマーク問題に対する数値実験により，提案手法の頑健性，精度，効率性が確認された。
- 既存手法との比較分析から，平均場ゲームシステムに対するニュートン法に基づくソルバーの可能性が示された。
局所平均化 McCormick 緩和による離散化正則化逆問題 [math.NA, cs.NA]目的：係数同定における双対境界の近似計算手法
- 偏微分方程式の逆問題は，工学や科学における様々な現象のモデリングに不可欠である。
- 逆問題は，しばしば不適切であり，解が一意に定まらない，または存在しない場合がある。
- 離散化誤差とノイズを考慮することで，逆問題を正則化し，収束的な解を得ることを目指す。
- 局所平均化 McCormick 緩和を用いることで，緩和の精度向上と不等式の数を削減することが可能となった。
- 最適化に基づく境界のタイトニングにより，離散化誤差を定量化し，逆問題を正則化する効果が確認された。
- 数値実験の結果は，理論的結果を裏付けており，提案手法の有効性を示唆している。
有限基底PINNの学習のための多重事前条件付きLBFGS法 [cs.DC, cs.ET, cs.MS, cs.PF, math.NA, cs.LG, cs.NA]目的：有限基底物理情報ニューラルネットワークの学習アルゴリズム
- 物理現象のシミュレーションにおいて，機械学習の活用が重要視されている。
- 標準的なLBFGS法では，大規模問題に対する収束速度が課題となる場合がある。
- ドメイン分割に基づいた効率的な学習手法を開発し，計算コストを削減すること。
- MP-LBFGS法は，標準的なLBFGS法と比較して，収束速度とモデル精度を向上させる。
- このアルゴリズムは，ドメイン分割に触発されたアーキテクチャを活用し，局所的な表現を可能にする。
- 通信オーバーヘッドを抑えつつ，並列計算による高速化を実現する。
初期状態準備への最適クエリ数を持つ量子線形システムアルゴリズム [quant-ph, cs.DS, cs.NA, math.NA]目的：量子線形システム問題に対するクエリ数の最適化
- 線形システム問題は科学技術計算において広く現れ，その高速解法は重要である。
- 既存の量子アルゴリズムでは，初期状態準備のクエリ数がボトルネックとなる場合がある。
- 初期状態準備のクエリ数を最適化し，実用的な量子線形システムソルバーを開発すること。
- 本研究では，初期状態準備へのクエリ数を$\mathbf{\Theta}\left(1/\sqrt{p}\right)$に抑えた量子線形システムアルゴリズムを提案した。
- 提案アルゴリズムは，$O_A$へのクエリ数もほぼ最適であり，特に$p$が事前に不明な場合でも有効である。
- 新開発のVariable Time Amplitude Amplificationアルゴリズム（Tunable VTAA）が，この結果を支えている。
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