arXiv雑要約
数値解析 - 2026/02/03 公開
幾何学的二次構造モチーフを用いたマルチスケールグラフベースのタンパク質学習 [cs.LG, cs.AI, cs.NA, math.NA]目的：タンパク質学習のためのマルチスケールグラフベースのフレームワーク
- タンパク質の構造予測は，生命科学における重要な課題であり，創薬や機能解明に不可欠である。
- 既存のグラフニューラルネットワークは，マルチスケールな表現学習や長距離依存性のモデル化に課題がある。
- 本研究は，二次構造モチーフを利用した階層的なグラフ表現により，効率的なマルチスケール学習を実現する。
- 提案手法では，αヘリックスやβストランドなどの二次構造モチーフを要素とする階層的グラフ表現を構築する。
- このフレームワークは，局所的な相互作用と高次の構造関係の両方を捉え，柔軟なGNNの選択を可能にする。
- 実験結果から，提案手法は既存手法と比較して予測精度を向上させ，計算コストを削減できることが示された。
フローダイバージェンスの整合によるフローマッチングの改善 [cs.RO, cs.LG, cs.AI, cs.NA, math.NA]目的：フローベース生成モデルの学習における確率経路の精度向上
- 生成モデルは多様なデータ生成を可能にするため，機械学習の重要な分野である。
- 従来のフローマッチングは確率経路の学習精度に課題があり，生成性能に限界があった。
- フローとダイバージェンスを同時に整合する新しい目的関数を設計し，生成モデルの性能を向上させる。
- 本研究では，学習された確率経路と正確な確率経路の誤差に関する新たな偏微分方程式の表現とその解を提示した。
- フローマッチング損失と関連するダイバージェンス損失の組み合わせによって，2つの確率経路間の全変動ギャップが上限で抑えられることを示した。
- 提案手法は，ダイナミカルシステム，DNA配列，動画などのベンチマークタスクにおいて，CFMと比較して目覚ましい性能向上を実証した。
有限要素固有関数ネットワーク (FEENet): 複雑形状における偏微分方程式を解くためのハイブリッドフレームワーク [math.NA, cs.NA]目的：複雑形状における偏微分方程式の解法
- 現実世界の様々な物理現象のシミュレーションにおいて，偏微分方程式の正確かつ効率的な解法が不可欠である。
- 従来のニューラル演算子は，複雑または不規則な形状において，形状を考慮した表現の欠如により性能が低下する。
- FEENetは，固有関数理論に基づき，形状に適合した基底を学習することで，この問題を解決する。
- FEENetは，複雑な二次元および三次元形状のパラメータ化された偏微分方程式において，DeepONetと比較して優れた精度と計算効率を実現した。
- FEENetは，解像度に依存しない推論，解釈可能性，非局所演算子への自然な一般化といった利点を持つ。
- 構造を保存する数値法とデータ駆動型学習を組み合わせたハイブリッドアプローチは，現実世界の偏微分方程式問題の解決に有望である。
非線形最小二乗問題に対する事前条件付き勾配降下法とベクトル外挿法の新結合 [cs.DC, math.NA, cs.NA]目的：非線形最小二乗問題の解法における，ベクトル外挿法と事前条件付き勾配降下法の組み合わせ
- 大規模シミュレーション研究において，ベクトル外挿法は広く用いられ，計算効率向上が求められている。
- 従来のベクトル外挿法は収束性を高めるも，計算精度の向上には必ずしも繋がらないという課題がある。
- 本研究は，収束性と計算精度を同時に向上させるための，外挿法と勾配降下法の複合手法を提案する。
- 提案手法は，勾配降下法に対してベクトル外挿法を組み合わせることで，収束速度と解の精度を両立した。
- 実験結果から，多項式型外挿法やベクトルεアルゴリズムが，事前条件付き・非事前条件付きの勾配降下法と組み合わせて有効であることが示された。
- 提案手法は，一般化クライロフ部分空間に基づくGauss-Newton法と比較しても，良好な性能を示した。
流体-剛体相互作用のための高次DLM-ALE離散化とロバストな演算子事前条件付け [cs.RO, math.NA, cs.NA]目的：流体-剛体相互作用の数値的枠組み
- 微小流体デバイス設計に応用でき，流体と固体の複雑な相互作用を正確に予測することが重要である。
- 従来の数値手法では，精度と安定性の両立が難しく，特に複雑な形状や界面を扱う場合に問題が生じる。
- 高次精度とロバストな事前条件付けにより，複雑な流体-剛体相互作用シミュレーションの効率と精度を向上させる。
- 高次テイラー-フード要素と分割ルンゲ-クッタ法により，流体解と剛体運動に対して高次収束性が確認された。
- 提案された事前条件付けは，物理パラメータや離散化パラメータに依存せず，ロバストな反復収束性を示した。
- DLDデバイスを含む代表的なベンチマークテストにおいて，数値的な検証が成功裡に行われた。
多様体上のポアンカレ不等式を用いた非線形特徴空間における構造化次元削減 [math.NA, cs.NA]目的：高次元入力の連続微分可能関数近似手法
- 機械学習において高次元データは計算コスト増大や次元の呪いの原因となるため，次元削減は重要。
- 既存手法では，非線形多様体上での特徴抽出や，学習データが少ない場合の最適化が課題。
- ポアンカレ不等式を利用した勾配法で，効率的な特徴抽出と近似を目指す。
- パラメータ化された高次元関数群に適した特徴マップを構築するための損失関数の二乗近似を導入。
- 提案手法では，損失関数に対する上限が導出され，理論的な有効性が示唆された。
- 入力変数のグループごとに別個の特徴マップを構築する手法が，複数の集合設定とほぼ同等であることが示された。
ナビエ-ストークス-ダルシーモデルに対する新規線形・分離型・エネルギー消散スキームと関連二相流への拡張 [math.NA, cs.NA]目的：ナビエ-ストークス-ダルシーモデルおよび関連する二相流の効率的なエネルギー消散スキーム
- 流体現象のシミュレーションは，工学設計や気象予測など，幅広い分野で不可欠である。
- ナビエ-ストークス-ダルシーモデルの数値解法は，安定性や精度を確保することが難しい場合がある。
- 本研究は，安定かつ高精度な数値解法を開発し，より信頼性の高いシミュレーションを可能にする。
- 提案スキームは，線形方程式の繰り返し解法により実装可能であり，計算効率に優れている。
- 速度および水頭の数値解は，$l^{\infty}(L^2)$および$l^2(H^1)$ノルムにおいて無条件に有界であることが数学的に証明された。
- ベンチマーク実験により，提案手法の精度，安定性，および有効性が確認された。
多忠実度物理情報ニューラルネットワーク：ベイズ不確実性定量化と適応的残差学習によるパラメトリック偏微分方程式の効率的な解法 [cs.LG, cs.NA, math.NA, physics.comp-ph]目的：パラメトリック偏微分方程式の効率的な解法
- 偏微分方程式は自然科学や工学の基礎であり，様々な現象のモデリングに不可欠である。
- 高精度な偏微分方程式の解法は計算コストが高く，特にパラメトリック問題では課題となる。
- 低忠実度シミュレーションと高忠実度データを効果的に活用し，計算コストを削減する。
- 提案手法MF-BPINNは，多忠実度フレームワーク，ベイズ不確実性定量化，適応的残差学習を組み合わせる。
- 階層的ニューラルアーキテクチャにより，忠実度レベル間の非線形相関を学習する。
- 適応的残差ネットワークは，線形および非線形忠実度間の差異を動的に調整する。
スカラーおよびベクトル外挿法の概観 [math.NA, cs.NA]目的：スカラーおよびベクトル外挿法の理論的基礎，誤差モデル，収束性，数値安定性，および実装に関する包括的なレビュー
- 数値解析において反復アルゴリズムの効率向上や，収束の遅い級数の総和に不可欠な技術である。
- 古典的な手法から最新の発展まで，多様な外挿法が存在し，その特性や適用範囲の理解が課題となっていた。
- スカラーおよびベクトル外挿法の統一的な視点を提供し，歴史的起源，理論的洞察，現代的な応用を結びつける。
- 本研究は，リチャードソン外挿法，エイトケン過程，シャンクス変換，ウィン・イプシロンアルゴリズム等の古典的なスカラー外挿法を詳細に検討した。
- ベクトル外挿法，特に多項式に基づくものと，ベクトル数列へのイプシロンアルゴリズムの一般化についても議論した。
- 反復ソルバー，クリロフ部分空間法，大規模計算シミュレーションへの応用など，現代的な計算応用における外挿法の役割を強調した。
粘性バーガース方程式における非線形ノイマン境界フィードバック制御に対する有限要素θスキーム [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：粘性バーガース方程式の数値解法
- 流体現象のモデリングにおいて，バーガース方程式は重要な役割を果たす。
- 非線形境界条件下の安定性解析や高精度な数値解法の開発が課題である。
- θスキームを用いた有限要素法による安定性と精度を検証する。
- 提案されたスキームは，θ∈[1/2, 1]において無条件に指数関数的に安定であることが証明された。
- 1次元および2次元において，状態変数と境界制御入力に対する最適な誤差評価が得られた。
- 数値実験により，理論的結果の妥当性と提案された安定化戦略の有効性が確認された。
輸送現象が支配的な問題に対する非線形モデル次元削減 [cs.CL, cs.HC, math.NA, cs.LG, cs.NA, math.OC]目的：輸送現象が支配的な問題における非線形モデル次元削減手法
- 複雑な物理現象のシミュレーションにおいて，計算コストが課題となる。
- 線形近似では精度が不十分な，非線形性の強い問題が存在する。
- 線形近似が適用できない問題に対し，効率的な次元削減手法を確立する。
- 本研究は，非線形パラメトリゼーション，縮約力学，オンラインソルバーという３つの要素を中心に，非線形モデル次元削減手法を整理した。
- 変換に基づく手法，オンライン適応技術，汎用的な非線形パラメトリゼーションと瞬時残差最小化の組み合わせなど，既存のアプローチを分類した。
- これにより，Kolmogorov障壁に関連する現象など，線形近似が困難な輸送現象が支配的な問題への応用が可能となる。
事前条件付き焼きなましランジェバン動力学による次元フリーなマルチモーダルサンプリング [cs.RO, math.NA, cs.NA, math.PR, stat.ML]目的：マルチモーダルなターゲット分布に対するサンプリング効率の理論的保証
- 高次元問題におけるサンプリングは，多くの分野で重要な課題である。効率的な探索アルゴリズムが求められている。
- 焼きなましランジェバン動力学は有効だが，次元が増加した場合の安定性に関する理論的な保証が不足している。
- ガウス混合モデルで近似可能なマルチモーダルターゲット分布に対し，次元に依存しない安定性を保証する条件を導く。
- 提案手法は，ターゲットの平滑化を徐々に除去する明示的な焼きなまし経路において，十分なスペクトル条件を特定した。
- このスペクトル条件により，単一の次元に依存しない時間範囲内で所定の精度を達成できることが示された。
- 不完全な初期化やスコア近似に対するロバスト性も確立し，事前条件付きのアルゴリズムがエラーの蓄積を防ぐことを示した。
テイラー展開を超えて：発散に基づく関数展開とその数値積分への応用 [math.NA, cs.NA]目的：関数展開の新しい枠組み
- 数値計算において，高精度かつ効率的な積分手法は不可欠である。
- 従来のテイラー展開は局所的な多項式近似に依存し，高次元積分には限界がある。
- 発散に基づく関数展開により，高次元における数値積分の効率化を目指す。
- 本研究では，テイラー展開の考え方を拡張した新しい関数展開枠組みを提案する。
- 複素数平面上の特定の根の単位における展開中心の位置づけにより，低次の誤差項を消去する手法を開発した。
- この手法は，任意の平坦面多面体に対して，テッセレーションに基づく求積法に代わる，堅牢で効率的な代替手段を提供する。
カーン・ヒリアードモデルにおける3次幾何学的体積保存 [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph, physics.flu-dyn]目的：カーン・ヒリアード相分離モデルにおける幾何学的体積の保存性向上
- 界面移動のシミュレーションは，材料科学や流体物理学において重要である。
- 従来の相分離モデルでは，界面の厚さに起因する体積の不正確な保存が問題となる。
- 本研究は，界面の厚さに依存しない体積保存性を実現し，シミュレーションの精度向上を目指す。
- 提案手法では，特定のカーネル関数を用いることで，幾何学的体積保存において3次精度を達成した。
- このカーネル関数は，指数関数型やパデ型を含むパラメータ化された族から選択される。
- 数値実験の結果，提案手法は人工的な体積変動をほぼ完全に排除し，小さな液滴の消失を防ぐことが示された。
カーネル積分の視点からのニューラル演算子の幾何学的一般化 [math.NA, cs.NA]目的：パラメトリック偏微分方程式の解演算子を近似するニューラル演算子の一般化
- 科学技術計算において，多数のクエリを効率的に処理する代理モデルの需要が高まっている。
- ニューラル演算子の実用上の課題として，未知の形状への一般化が挙げられる。
- 様々な形状へのロバストな一般化を実現するニューラル演算子の開発。
- 本研究では，境界積分法に着想を得て，形状に依存するカーネル演算子の近似として演算子学習を再構成した。
- このアプローチにより，幾何学的一般化のメカニズムが明確になり，高速カーネル和の方法との直接的な関連性が明らかになった。
- エバルト和に触発されたマルチスケールニューラル演算子を提案し，その近似の理論的な精度を保証した。
混合変分・半変分不等式の整解性と数値解析 [math.NA, cs.NA]目的：混合変分・半変分不等式の整解性と数値解の確立
- 流体解析等，様々な応用分野において重要な役割を担う変分不等式理論の発展。
- 混合変分・半変分不等式に対する整解性の保証や，効率的な数値解法の確立が課題。
- 非線形性を含む混合型問題に対する数値解法の精度評価と収束性の検証。
- 混合変分・半変分不等式の整解性と，その数値近似解の存在が投影反復法を用いて示された。
- Stokes方程式の変分・半変分不等式への応用により，滑り条件下の非圧縮流体問題に適用可能であることが確認された。
- 安定な有限要素空間の組み合わせを用いることで，最適な誤差評価が得られ，数値実験により理論的予測が検証された。
検証済みの存在と出力のための平衡フラックス残差認証 [math.NA, cs.NA]目的：非線形楕円境界値問題における厳密な解の存在と出力の証明
- 数値解析における信頼性の高い計算結果の保証が重要視されている。
- 有限要素法の計算結果が，真の解をどれだけ正確に表しているかの検証が困難である。
- 計算結果の厳密な存在証明と，出力値の信頼区間を導出すること。
- 標準的な有限要素計算を厳密な解の存在と出力の証明に利用するワークフローを提示した。
- 平衡フラックス再構成により，$H(\mathrm{div})$-適合なフラックスを得て，局所的な混合解法を回避した。
- 随伴法を用いた修正により，関心のある量の信頼区間を大幅に縮小することができた。
拡散係数の回復に関する数値手法 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：空間的に変動する拡散係数の再構成
- 拡散現象は自然科学，工学の広範な分野で不可欠であり，その正確なモデリングが重要である。
- 境界条件から拡散係数を一意に決定することは困難であり，不安定な解になりやすい。
- 境界条件から安定かつ信頼性の高い拡散係数の再構成手法を確立すること。
- 提案手法である修正CCBMは，古典的な境界に基づく手法と比較して，より安定した再構成が可能であることが示された。
- 適度なH¹重みを用いることで，高周波数のアーティファクトが低減され，安定性が向上することが確認された。
- 部分的に境界を共有する複数の領域における拡散係数の安定的な回復が可能であることが示された。
曲率を保存するフラクタル補間関数：ハイブリッド幾何学的アプローチ [math.NA, cs.NA, math.MG]目的：曲率を保存するフラクタル補間関数の開発
- 自己相似かつ不規則なデータモデリングにおいて，フラクタル補間関数は強力な手法である。
- 従来のフラクタル補間関数は，幾何学的な忠実性，特に曲率の保持が不十分である。
- 古典的なスプライン補間による曲率を考慮したフラクタル補間関数を構築し，曲率の近似精度を向上させる。
- 本研究で提案するフラクタル補間関数は，古典的なスプライン補間や離散データ曲率と比較して，曲率をより正確に保存することが示された。
- ペナルティベースのアプローチによるパラメータ最適化により，データ補間と形状の忠実性を両立している。
- 幾何モデリング，コンピュータグラフィックス，科学データ補間への応用が期待される。
動系における低ランク近似を用いたスケーラブルな擬スペクトル解析 [math.NA, cs.NA]目的：大規模動系に対する擬スペクトル解析の効率化
- 非正規行列の感度や過渡特性評価に不可欠だが，計算コストが次元数の3乗に比例する
- 既存手法は疎行列構造に依存し，機械学習やデータ駆動型動系のように密な低ランク行列には不向き
- 低ランク近似に基づく包括的なフレームワークを構築し，計算コストを削減すること
- 低ランク行列の擬スペクトルを正確に特徴づけ，レゾルベントノルムの評価をランクに比例する次元の固有値問題に帰着
- 切り捨てやランダム化された低ランク近似による擬スペクトル包含集合を導出し，厳密な摂動境界を提供
- 不安定性への距離やクライス定数などの安定性量を，有効ランクに比例するコストで効率的に推定可能
RAR-D適応サンプリングを用いたKolmogorov-Arnoldネットワークに基づくPINNによる楕円型界面問題の解法 [cs.DB, cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：楕円型界面問題に対するPINNの精度向上
- 偏微分方程式の数値解法は，科学技術計算において不可欠であり，高精度な解法が求められている。
- 従来のPINNは，複雑な界面問題に対して，大規模なネットワークと長時間の学習を必要とする場合がある。
- 本研究は，少ないパラメータで高精度な近似が可能なKolmogorov-ArnoldネットワークをPINNに導入し，RAR-D適応サンプリングを組み合わせることで，効率的な解法を目指す。
- 提案手法では，Kolmogorov-Arnoldネットワークを組み合わせた新たなPINNアーキテクチャを導入した。
- RAR-D適応サンプリングにより，学習点の分布を動的に最適化し，学習効率と収束性を向上させた。
- 数値実験の結果，提案手法は，従来のPINNと比較して，より小さなネットワークサイズと高速な収束性で，より高い精度を実現した。
臨界多様体上の退化した鞍点に対する高インデックス鞍点ダイナミクスの収束 [math.NA, cs.NA]目的：臨界多様体上の退化した鞍点の計算
- 機械学習モデルの最適化において，鞍点は局所最適解への収束を妨げる重要な要因である。
- 鞍点探索手法は，退化した鞍点に対して数学的保証がない場合が多く，信頼性に課題がある。
- 退化した鞍点に対する高インデックス鞍点ダイナミクスの収束性を数学的に証明し，その有用性を示す。
- 高インデックス鞍点ダイナミクスが，臨界多様体上の退化した鞍点に対して局所的に収束することが示された。
- 離散化された高インデックス鞍点ダイナミクスアルゴリズムの線形収束速度が確立された。
- 勾配方向が特定のヘッセ行列の固有ベクトルと漸近的に一致するという理論的説明が提供された。
複雑形状における有限差分法を用いた多重グリッドポアソンソルバー [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph, physics.plasm-ph]目的：複雑形状におけるポアソン方程式の効率的な数値解法
- 複雑形状のシミュレーションは，様々な科学技術分野で不可欠である。
- 複雑形状に対する従来の解法は計算コストが高く，効率性に課題がある。
- 座標変換による領域の単純化により，計算効率の向上を目指す。
- 提案手法は，座標変換により複雑な形状を均一な計算領域に写像する。
- これにより，多重グリッド法などの高速ソルバーを適用可能となる。
- 数値実験により，2次精度が確認され，効率的な解法であることが示された。
一般数値フラックス関数に対する3次エッジベーススキームのフラックス補正形 [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：一般数値フラックス関数を直接利用可能にする，オイラー方程式に対する3次エッジベーススキームのフラックス補正形
- 数値流体計算は，工学や科学の様々な分野において，流体の挙動をシミュレーションするための基盤技術である。
- 高精度な数値計算には，複雑なフラックス関数の取り扱いが課題であり，スキームの柔軟性と精度が求められる。
- 一般的な数値フラックス関数を適用可能なスキームを開発し，計算精度を維持しつつ，柔軟性を向上させる。
- 提案されたフラックス補正形は，既存スキームの精度を損なうことなく，一般数値フラックスを適用可能となる。
- U-MUSCLスキーム（κ = 1/2）を用いることで，二次関数に対して正確に左状態と右状態を計算し，3次精度を維持できる。
- 不規則な四面体格子上でHLLCおよびLDFSSフラックス関数を用いた数値実験により，3次精度が検証された。
多規模流体構造連成問題のための単一の局所高次ALE有限要素法 [math.NA, cs.NA]目的：多規模流体構造連成問題に対する単一の局所高次ALE有限要素法の開発
- 工学設計において，流体と構造物の相互作用は重要な現象であり，正確なシミュレーションが求められる。
- 異なるスケールの流体と構造物の連成解析は計算コストが高く，精度を保つことが困難である。
- 計算コストを抑えつつ，高精度な多規模流体構造連成シミュレーションを実現すること。
- 提案法MLH-ALEは，高次ALEスキームの最適な収束性を示す数値ベンチマーク試験を通過した。
- マイクロチャネル内での粒子集積シミュレーションにおいて，実験結果と良好な一致を示し，提案法の有効性を確認した。
- 提案法は，複雑な多規模アプリケーションへの適用可能性を示唆している。
逆散乱問題における形状再構成のための単調性に基づく正則化 [math.NA, cs.NA]目的：散乱体の形状回復
- 医療診断や非破壊検査において，対象物内部の形状を把握する技術は重要である。
- 観測データにはノイズが含まれるため，形状を正確に再構成することが難しい。
- ノイズの影響を受けにくい，単調性に基づく形状再構成法を提案し検証する。
- 提案手法は，ノイズがないデータに対しては正確な形状を復元できる。
- ノイズレベルがゼロに近づくにつれて，正則化解は正確な解に収束することが示された。
- 数値例により，理論的結果が検証された。
関数の近似：最適なサンプリングと複雑性 [math.NA, cs.IT, cs.NA, math.IT]目的：関数の近似または復元
- 最適回復，機械学習，数値解析など広範な分野で重要な課題である。
- 限られたデータ量から，どれだけ正確な近似が可能かという情報理論的な限界が不明確であった。
- 情報理論的な限界に近づくアルゴリズムとサンプリング戦略を提示し，その関係性を明らかにする。
- 有限個の関数評価に基づく近似・復元の情報理論的限界について議論した。
- 非線形，適応的，ランダムな測定を含むより広範なサンプリングについても検討した。
- 情報に基づく複雑性の観点から，異なる設定間の関係性を明らかにした。
ティモシェンコモデルに関連する非線形双曲型方程式系の数値解法 [math.NA, cs.NA, math-ph, math.AP, math.MP]目的：非線形双曲型方程式系の数値的近似解法
- 構造物の動的解析において，材料の非線形性や複雑な形状を考慮することが重要である。
- 既存の数値解法では，計算コストが高く，大規模な問題を解くことが困難な場合がある。
- 計算効率が高く，精度の高い数値解法を開発し，構造物の動的特性を正確に予測すること。
- 本研究では，時間離散化スキームとして対称な三層semi-discrete法を提案し，非線形項を時間の中点評価することで，各時間ステップにおいて非線形問題を線形問題に帰着させる。
- 提案スキームは時間刻み幅に関して2次の精度を有し，局所的な時間区間での収束性が証明された。
- 空間的にはLegendre-Galerkinスペクトル近似法を用いることで，線形システムを疎行列化し，効率的な計算を可能にした。
有限要素法における凸制限とその残差分布との関係 [cs.CE, math.NA, cs.NA]目的：非線形双曲型問題に対する連続有限要素離散化における要素ベースの代数的安定化手法
- 数値シミュレーションにおいて，精度と安定性を両立させることは重要である。特に非線形問題では，その必要性が高まる。
- 従来の有限要素法では，数値振動や不正確な解が発生することがあり，特に高次精度化が課題となる。
- 反拡散項を制限することで，離散最大原理の成立を保証し，より安定した数値解を得ることを目指す。
- 提案手法は，残差分布法と解釈可能であり，数値解の精度向上に貢献する。
- 局所的なフラックスコレクテッドトランスポート(FCT)アルゴリズムと，モノリシック凸制限(MCL)の二つのアプローチが提示された。
- 中間状態における不等式制約を課すことで，凸不変集合内にとどまることを保証し，安定性を高めている。
モンジュ・アンペール方程式に対する最小二乗分割法の収束性 [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：モンジュ・アンペール方程式に対する最小二乗分割法の理論的な収束性
- 偏微分方程式の数値解法は，現実世界の現象をシミュレーションする上で不可欠である。
- モンジュ・アンペール方程式の数値解法は困難であり，既存手法の厳密な収束性解析が課題である。
- この研究は，最小二乗分割法の収束性を厳密に証明することで，その数値的信頼性を理論的に裏付ける。
- 最小二乗分割法を，ソボレフ空間上の交互投影スキームとして再構成できることを示した。
- 投影写像のガトー微分が線形投影となる条件を導出し，接空間の横断性を示すことで，線形収束を証明した。
- 二次元トーラス上において，初期データが解に十分近い場合に，$H^2$ノルムにおける線形収束を確立した。
凸結合による分数材料微分に基づく非対称 Lévy 歩行 [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：Lévy 歩行のスケーリング限界を記述する線形偏微分方程式の解の存在と確率保存性
- 異常拡散現象の理解は，物理学，生物学，金融工学など，多様な分野で重要である。
- 分数階微分を用いたモデルでは，数値計算において確率保存性を維持することが課題となる。
- 確率保存性を保証する数値スキームを構築し，異常拡散現象の信頼性の高いシミュレーションを可能にすること。
- 連続初期データに対する解の存在が，フーリエ・ラプラス変換を用いて証明された。
- 源項に対する必要十分条件が導出され，解が確率密度関数として振る舞うことが保証された。
- 確率保存型有限体積離散化スキームが構築され，空間・時間ステップの縮小に伴う収束性が示された。
浅水線形モーメント方程式に対する新たなエネルギー方程式の導出 [math.NA, cs.NA, math.AP, physics.flu-dyn]目的：浅水線形モーメント方程式のエネルギー方程式の導出
- 自由表面流のモデル化と数値シミュレーションにおいて，効率的な手法が求められている。
- 浅水方程式は深さ平均の速度分布を仮定するが，より高精度な表現が課題となっていた。
- 浅水線形モーメント方程式に対する系統的なエネルギー方程式の導出方法を確立する。
- 標準的な浅水方程式のエネルギー方程式の導出に基づき，偏対称な定式化を取り入れた。
- この新たな導出は，他の浅水モーメント方程式の変種への拡張を容易にする。
- 数値解法の開発においても有用であると考えられる。
エルミート多変数補間問題と部分分数分解の公式 [cs.FL, math.NA, cs.NA]目的：エルミート多変数補間および部分分数分解の公式
- 数値解析において，関数の近似やデータ補間は不可欠な技術である。
- 多変数関数の補間は計算コストが高く，効率的な手法が求められている。
- 有理関数の部分分数分解を，直接的かつ明示的な方法で実現すること。
- 本研究で提示された公式は，Chung-Yao補間に対応するエルミート多変数補間を可能にする。
- 各一変数補間公式を用いることで，有理関数の部分分数分解問題に対する直接的な解を得る。
微分公式とその二次元シュレーディンガー方程式への応用 [physics.comp-ph, cs.NA, math.NA, quant-ph]目的：関数の導関数の離散化公式の導出方法
- 量子力学におけるシュレーディンガー方程式の数値解法は，物質の性質理解に不可欠である。
- 標準的な数値解法では，収束が遅く，高精度な結果を得ることが困難な場合がある。
- 分割差分を一般化した方法を用いて，より効率的かつ高精度な解法を確立すること。
- 分割差分の変形により，従属変数の変換と等価な離散化公式を導出した。
- 二次元シュレーディンガー方程式の固有値問題に対して本手法を適用した結果，高い精度で解が得られた。
- 標準的な方法と比較して，収束性が大幅に向上することが示された。
多項式時間計算可能なL2関数とは何か？ [cs.CC, cs.NA, math.NA]目的：L2関数の多項式時間計算可能性の定義
- 計算複雑性理論における基本概念の明確化は，アルゴリズム設計の基礎となる。
- L2関数の多項式時間計算可能性の定義は，一意ではないという問題がある。
- 異なる定義間の関係性を明らかにし，計算可能性の限界を探る。
- L2関数に対する多項式時間計算可能性の二つの自然な定義を提示した。
- 提示した二つの定義は，FP_1 が #P_1 を含む限りでは比較不可能であることが示された。
時間分数ブラック・ショールズ方程式の数値シミュレーション [q-fin.CP, cs.NA, math.NA]目的：時間分数ブラック・ショールズモデルにおけるヨーロピアンオプションの効率的な数値解法
- 金融工学におけるオプション価格決定は，リスクヘッジやポートフォリオ管理において不可欠である。
- 古典的なブラック・ショールズモデルは，現実の金融市場の複雑さを捉えきれない場合がある。
- 時間分数微分を用いることで，金融市場の長記憶効果をより正確にモデル化し，価格決定の精度向上を目指す。
- 提案手法は，時間変数にクランク・ニコルソン法，空間変数に指数Bスプライン近似を用いることで，無条件安定性を実現している。
- 数値実験の結果，提案手法が理論を裏付け，既存手法と比較して優れていることが示された。
- この方法は，特に金融市場の非標準的な振る舞いを分析する際に有用であると考えられる。
マルコフ連鎖ポアソン方程式の固定点反復の安定化 [stat.ML, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：マルコフ連鎖ポアソン方程式の安定的な解法
- 平均報酬強化学習の基礎であり，性能評価に不可欠な方程式である。
- エルゴード性がない場合，解が一意に定まらず，反復計算が不安定になる問題がある。
- 還元可能または周期的な連鎖における振動を抑え，安定した解を得ることを目指す。
- 非減衰モードは実数周辺不変部分空間によって捉えられ，商空間上での演算子は厳密に収縮性を持つことが示された。
- 連鎖構造の学習，ゲージ写像の推定，射影確率的近似による解の推定を行うパイプラインが開発された。
- 射影推定誤差まで$\widetilde{O}(T^{-1/2})$の収束が証明され，エルゴード性がない状況下での応用が可能となった。
変分量子アルゴリズムにおけるヘッセ行列のスケーリング解析 [quant-ph, cs.NA, math.NA]目的：変分量子アルゴリズムにおけるヘッセ行列の要素ごとの解像度
- 量子計算の効率化には，最適化手法の性能向上が不可欠である。
- ヘッセ行列の解像度が低いと，二階微分法は適用困難となる場合がある。
- 初期化時のヘッセ行列のスケーリングを解析し，二階微分法の適用可能性を評価する。
- グローバルな目的関数では，ヘッセ行列の分散が指数関数的に抑制されることが示された。
- この結果から，一定の信号対雑音比を維持するためには，測定ショット数が指数関数的に増加する必要がある。
- 一方，有界深さの回路における局所的な目的関数では，分散の減少は多項式であり，ショット数は多項式オーダーで抑えられる。
反復フーリエ変換による決定性ネットワークのノイズ除去 [eess.SP, cs.NA, math.NA, stat.ME]目的：決定性ネットワーク構造の同定
- ネットワーク科学は，複雑なシステムの理解に不可欠であり，その応用範囲は広い。
- 現実のネットワークデータにはノイズや欠損が含まれることが多く，正確な構造解析を困難にする。
- ノイズや欠損にロバストなネットワーク構造同定手法を開発し，解析精度を向上させる。
- 提案手法IterativeFTは，エッジプルーニングとガウスノイズの存在下で決定性ネットワーク構造を特定する。
- IterativeFTは，ラティスネットワークやカウツネットワークにおいて，他のノイズ除去手法と比較して最も優れた性能を示した。
- この手法は，ノイズエッジのフィルタリングと欠損エッジの回復の両方に効果的であることが示された。
暗黙的ハミルトニアンを持つ最適制御問題に対するヤコビアンフリー逆伝播の収束性 [math.OC, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：暗黙的ハミルトニアンを持つ最適制御問題におけるヤコビアンフリー逆伝播（JFB）の収束性
- 最適制御は，ロボット工学や経済学など，多くの分野で重要な役割を担う
- 暗黙的ハミルトニアンを持つ問題では，最適な制御則が閉形式で得られない
- JFBを用いた学習手法の理論的根拠と実証的証拠を提供すること
- 本研究では，確率的ミニバッチ設定におけるJFBの収束性を理論的に保証した。
- その結果，得られた更新は期待される最適制御目的の停留点に収束することが示された。
- マルチエージェント最適消費問題や群制御など，より高次元の問題への適用可能性も確認された。
縦波を用いた海底と粗度の同時推定 [stat.AP, cs.NA, math.NA]目的：海底及びその粗度の同時推定
- 海洋資源開発や環境調査において，正確な海底地形把握が不可欠である。
- 海底地形推定は逆問題であり，観測データだけでは一意な解が得られない。
- 海底の統計的等方性を利用し，粗度を定量的に評価することで，推定精度向上を目指す。
- 本研究では，無限次元ベイズ枠組みに基づき，波散乱を利用したロバストな数値アルゴリズムを提案した。
- 提案手法は，海底と粗度を同時に推定し，不確実性の定量化を可能にする。
- 数値実験の結果，大規模な海底探査への応用が期待される有効性を示した。
記憶を持つ粘性バーガース方程式のノイマン境界フィードバック制御による安定化と有限要素解析 [math.CO, cs.DM, math.OC, cs.NA, math.NA]目的：粘性バーガース方程式の安定化
- 非線形偏微分方程式の安定化は，流体力学や物理現象の制御において重要である。
- 記憶項を含む方程式の安定化は解析が難しく，実用的な制御則の設計が課題である。
- 未知の拡散係数を持つ場合でも安定化を保証する制御則を設計し，数値シミュレーションで検証する。
- ノイマン境界フィードバック制御則を用いることで，\(L^{2}, H^{1},\) および \(H^{2}\) ノルムにおけるグローバルな安定化が示された。
- 連続時間有限要素法を適用し，半離散スキームのグローバル安定化と状態変数に関する最適誤差評価が得られた。
- フィードバック制御則に関する誤差評価も導出され，数値シミュレーションによって理論的結果が検証された。
多相2次元オイラー方程式に対する競合輸送マーカーによる正則化 [math.AP, cs.NA, math-ph, math.MP, math.NA]目的：多相渦度場の輸送構造を厳密に保存する2次元非圧縮オイラー方程式の新しい正則化フレームワーク
- 流体力学において，多相流のシミュレーションは，気象，海洋，化学工学など，広範な分野で重要である。
- 従来の数値解法では，多相流の界面を正確に捉えることが難しく，数値拡散やモルフィケーションが生じやすい。
- 本研究は，界面に数値拡散やモルフィケーションを導入することなく，多相流の正確なシミュレーションを可能にすることを目指す。
- 提案手法は，受動的に輸送されるスカラーマーカー関数を用いて多相渦度データを表現し，マーカー間の競争によって局所的な渦度を決定する。
- パラメータβが無限大に近づくにつれて，輸送されるマーカー関数の均一収束性が有限時間間隔で証明された。
- オイラー界面ネットワークの幾何学的非退化条件の下で，進化する界面構造のハウスドルフ収束性と，タイセットを除く場所での正則化された渦度のβに対して指数関数的な点収束性が確立された。
パラメータ依存確率的動力学系に対する学習不要なスコアベース拡散 [stat.ML, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：パラメータ依存確率的微分方程式のシミュレーション手法
- パラメータ変化に対するシミュレーションは計算コストが高く，効率的な手法が求められている。
- 既存手法は学習コストが高いか，連続的なパラメータ依存性を扱えないという課題がある。
- パラメータ空間と状態空間の両方において，効率的な補間を可能とする手法を開発する。
- 提案手法は，離散的なパラメータ値でサンプリングされた軌跡データを用いて条件付きスコア関数を近似する。
- 学習済みの生成モデルは，再学習なしに任意のパラメータ値でサンプル軌跡を生成できる。
- 数値例を通して，パラメータ変化に対する条件付き分布の正確な近似が示された。
事後誤差推定に基づくp-ロバストなマルチグリッド法と領域分割法：混合有限要素離散化による楕円型問題への最適ステップサイズ [math.NA, cs.NA]目的：混合有限要素法による楕円型偏微分方程式の離散化から生じる線形方程式系の代数的ソルバー
- 数値シミュレーションにおいて，高い精度と効率が求められるため，安定したソルバーの開発が重要である。
- 高次有限要素法の適用では，計算コストの増加や安定性の問題が生じやすい。
- p-ロバスト性を備えたマルチグリッド法と領域分割法を開発し，効率的なソルバーを提供すること。
- 本研究では，p-ロバストなマルチレベル安定分解を用いて，マルチグリッド法と領域分割法における代数誤差の縮小を理論的に証明した。
- 2次元および3次元空間において，事後誤差推定に基づくマルチグリッド法と領域分割法の収束性および効率性が確認された。
- 提案手法は，様々な次数（p）の混合有限要素法に対して安定的に機能し，計算コストを削減できる可能性を示した。
有限要素微分形式の接線・法線分解 [math.NA, cs.NA]目的：有限要素微分形式に対する接線・法線分解の新しい手法
- 現代の物理シミュレーションでは，複雑な形状の解析が不可欠であり，微分形式を用いた計算が重要となる。
- 有限要素法における微分形式の取り扱いは，基底関数の選択や積分計算の効率性に課題が残されている。
- 自由度と形状関数が双対となる接線・法線基底を開発し，有限要素法の効率化を目指す。
- 接線・法線基底を用いることで，剛性行列の組み立てが簡素化され，効率的な補間と数値積分が可能となる。
- 広く利用されているラグランジュ要素基底との統合により，有限要素微分形式の実用的な実装が容易になる。
- 新たに定義されたバブル多項式形式を用いた幾何学的分解も提示される。
$\mathbb{R}^s$ 上のアンカレス加重ソボレフ空間における，無限範囲の被積分関数に対する中央値QMC法 [math.NA, cs.NA]目的：$\mathbb{R}^s$ 上で定義された加重ソボレフ空間における，密度関数に関するルベーグ可積分関数の準モンテカルロ積分
- 高次元積分は，科学技術計算や金融工学など，様々な分野で重要な役割を担う。
- 高次元空間における積分計算は，次元の呪いにより，計算コストが増大しやすい。
- 既存手法に依存せず，効率的な高次元積分計算を実現する手法の開発が求められる。
- 本研究では，GodaとL'ecuyerが提案した中央値QMC法を，$\mathbb{R}^s$ 上の加重アンカレスソボレフ空間に拡張した。
- 提案手法は，$N$個の点数に対し，$\mathcal{O}(N^{-r+\epsilon})$ の平均絶対誤差限界を達成する。
- 数値実験の結果，提案手法はCBC法と同等の精度を示し，モンテカルロ法よりも優れた性能を発揮した。
スペクトル分数ラプラシアンに対する適応型マルチメッシュ有理近似スキーム [math.NA, cs.NA]目的：スペクトル分数ラプラシアンの数値解法のための適応型マルチメッシュ有理近似スキーム
- 近年，非整数の階数を持つ微分方程式の応用が広がり，その数値解法の重要性が増している。
- 従来の単一メッシュアプローチでは，パラメータ依存性のある偏微分方程式の効率的な解法が困難であった。
- パラメータごとに最適化されたメッシュを用いることで，計算コストの削減と精度向上を目指す。
- 提案手法は，パラメータ依存性のある偏微分方程式を，それぞれに適応した有限要素メッシュ上で数値的に解く。
- a posteriori誤差評価戦略と適応型マルチメッシュ洗練アルゴリズムを開発した。
- 数値実験の結果，本手法は均一メッシュ洗練よりも高速な収束率を示し，計算コストを大幅に削減できることが示された。
ランダム化準モンテカルロ法における経験的ベルンシュタイン信頼区間とベッティング信頼区間 [math.NA, cs.NA, stat.CO]目的：ランダム化準モンテカルロ法の推定誤差に対する信頼区間の評価
- モンテカルロ法は数値積分で広く用いられるが，効率向上が課題である。
- 準モンテカルロ法は高精度だが，信頼区間を求めるのが難しい。
- 経験的ベルンシュタイン信頼区間とベッティング信頼区間の有効性を検証する。
- 積分評価回数nの最適値は，Nに対してN^{1/(\theta+1)}のオーダーで増加する。
- ベッティング信頼区間は，通常，経験的ベルンシュタイン信頼区間よりも狭い幅となった。
- ベッティング信頼区間における最適nは，理論的な最適値と同程度またはそれ以下であった。
多様体上のポアンカレ不等式を非線形特徴空間の次元削減に応用する近似手法 [math.NA, cs.LG, cs.NA]目的：非線形特徴空間における次元削減のための近似手法
- 高次元データ解析において，次元削減は計算コスト削減や過学習抑制に不可欠である。
- ポアンカレ不等式に基づく次元削減は有効だが，損失関数の最小化が困難である。
- ポアンカレ不等式に対する凸な近似手法を導入し，効率的な次元削減を目指す。
- 提案手法では，ポアンカレ不等式に基づく損失関数の新しい凸近似を導入した。
- 濃度不等式を利用し，多項式関数を含む関数クラスに対して劣最適性の結果を示した。
- 様々なベンチマークにおいて，特に小規模な学習データセットで，従来の反復法よりも優れた近似精度を達成した。
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