arXiv雑要約
数値解析 - 2026/02/02 公開
大規模言語モデル：数学的定式化 [math.NA, cs.LG, cs.NA, stat.ML]目的：大規模言語モデルの数学的枠組み
- 自然言語処理の発展は，人間とコンピュータのコミュニケーションを円滑にする上で不可欠である。
- 大規模言語モデルの内部構造は複雑であり，その動作原理の理解が困難である。
- 大規模言語モデルの正確性，効率性，堅牢性を数学的に分析可能な基盤を提供する。
- 本研究では，テキストのトークン化，次トークン予測モデルのアーキテクチャ，学習方法，および応用方法を数学的に記述した。
- 情報理論，確率論，最適化といった数学的要素の組み合わせが，大規模言語モデルの複雑なアルゴリズム構造を生み出している。
- この数学的枠組みは，大規模言語モデルの改善と新たな手法の開発のための基盤となる。
Durrmeyer型Max-Minニューラルネットワーク演算子の$L^p$-収束とノイズ除去性能について [math.NA, cs.NA]目的：Durrmeyer型Max-Minニューラルネットワーク演算子の$L^p$ノルムにおける収束性
- 近年，ニューラルネットワークは近似理論において重要な役割を果たしており，その理論的基盤の確立が求められている。
- 従来のMax-Min演算子は近似精度に課題があり，より滑らかな近似演算子の開発が望まれていた。
- Durrmeyer型演算子を用いることで，近似精度向上とノイズ除去性能の改善を目指す。
- 提案されたDurrmeyer型演算子は，点ごとの収束性，上限ノルム収束性，$L^p$ノルム収束性を満たすことが示された。
- Durrmeyer型演算子は，Kantorovich型や標準的なMax-Min演算子と比較して，より滑らかな近似を与えることが数値実験により確認された。
- 信号処理におけるフィルタリング性能の評価により，Durrmeyer型演算子が優れたノイズ除去効果を持つことが示された。
残差層の厳密なガウスモーメント [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：深層残差ニューラルネットワークにおけるガウス分布の平均と共分散の伝播
- 深層学習モデルの不確実性推定において，確率分布の伝播は重要な課題である。
- 既存手法では，活性化関数を通じた確率分布の伝播において近似誤差が大きい。
- 本研究は，主要な活性化関数に対する厳密なモーメントマッチングを導出し，伝播誤差を低減する。
- 本研究で導出した厳密なモーメントマッチングは，KLダイバージェンス誤差を大幅に改善した。
- 実データを用いた実験では，入力に対する認識的確度の高い推論を可能にした。
- 変分ベイズネットワークにおいて，モンテカルロ法と比較してKLダイバージェンスが大幅に減少した。
離散制約サドルダイナミクスとそのモーメンタム変種の発散解析 [math.NA, cs.NA]目的：多様体上のサドル点を探索するための離散制約サドルダイナミクスとそのモーメンタム変種
- 機械学習や最適化において，サドル点は重要な役割を担うため，その効率的な探索は不可欠である。
- サドル点の探索は，条件数が大きい場合に収束が遅くなるという課題が存在する。
- モーメンタムを用いることで，条件数が大きい場合でも，より高速な収束を実現することを目的とする。
- 離散制約サドルダイナミクスが，不安定固有ベクトルの条件数に依存する局所線形収束性を持つことが示された。
- モーメンタムに基づく制約サドルダイナミクスは，特に条件数の悪い状況下で収束を加速することが確認された。
- 不安定固有ベクトルの正確な情報がなくても局所収束が保証されることが示され，計算コストが大幅に削減される。
ランダムピボットLU分解による低ランク近似 [math.NA, cs.NA]目的：低ランク近似の性質
- 大規模データ処理において，計算コストとメモリ使用量を削減するため，低ランク近似は不可欠である。
- 既存の低ランク近似アルゴリズムは，メモリ使用量や計算効率において課題が残されている。
- メモリ制約下や構造化された行列に対して，より効率的な低ランク近似手法を開発すること。
- ランダムピボットLU（RPLU）分解が，特異値が急速に減衰する行列に対して期待収束性を持つことが示された。
- RPLUは，限られたメモリ環境下で，$\mathcal{O}(k^2 + m + n)$ の記憶容量と $\mathcal{O}( k(m + n)+ k\mathcal{M}(\mat{A}) + k^3)$ の演算コストで動作する。
- Cauchy型行列など，行列とそのSchur補完行列が構造を共有する場合に，RPLUは優れた性能を発揮する。
時間不均一ランジェバン拡散のForward-KL収束 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：時間不均一ランジェバン拡散とその離散化法の収束性
- 実用的なサンプラーの探索性能と安定性の向上において，時間依存的なドリフトの利用が重要である。
- 時間依存ドリフトを持つランジェバン拡散の非漸近的な収束性解析は，統一的な枠組みで未確立であった。
- 時間依存ドリフトに関する抽象的な条件の下で，連続時間拡散とオイラー・マルヤマ離散化法の収束を保証する。
- 本研究では，Forward-KLダイバージェンスに基づく非漸近的な収束境界が導出された。
- 幾何学的テンパリングやアニーリング付きランジェバンサンプリングなど，実用的なアニーリングスキームに適用可能である。
- 低次元および高次元設定における数値実験を通じて，理論でカバーされるアニーリングスキームを比較検討した。
多周波数データを用いたランダム障害物の逆音響散乱 [math.NA, cs.NA]目的：ランダム障害物の形状と統計的特性の復元
- 音響散乱問題は，水中音響や非破壊検査など，様々な分野で重要である。
- 従来の逆散乱問題では，障害物の形状が単純であるという仮定が必要であった。
- 本研究は，ランダムな形状を持つ障害物に対する逆散乱問題を解決することを目指す。
- ガウス過程を用いた数学的・物理的に整合性の取れたモデルを構築した。
- 観測された多周波数データに基づいて，二段階の逆手法を開発した。
- 単純な形状から複雑な形状まで，幾何学的および統計的情報の安定した復元を数値実験で示した。
双調和方程式と拡張Fisher-Kolmogorov方程式に対する超弱3場有限要素法 [math.NA, cs.NA]目的：双調和問題に対する超弱3場定式化
- 構造力学や流体解析など，多様な工学分野における解析の基礎となる。
- 高次偏微分方程式の数値解法は計算コストが高く，精度維持が課題である。
- 超弱定式化により，計算効率と精度の両立を目指す。
- 解，その勾配，ラグランジュ乗数という3つの未知数を用いた定式化が提案された。
- 鞍点問題の抽象理論を用いて，問題の適切性が証明された。
- Raviart-Thomas離散化に基づいた有限要素スキームが開発され，離散定式化の適切性と事前誤差推定が示された。
形状最適化のための慣性最小変形率フレームワーク [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：偏微分方程式制約形状最適化およびウィルモア駆動表面穴埋め
- 形状最適化は，工学設計において重要な役割を担う。より効率的で高性能な構造設計に不可欠である。
- 最適化の停滞やメッシュ劣化は，形状最適化のボトルネックとなっている。再メッシュ処理が必要になる場合もある。
- 停滞の回避とメッシュ品質の維持を両立させ，より効率的かつロバストな最適化手法を確立することを目指す。
- 提案手法は，従来の数値フレームワークと比較して，著しく高速な収束を実現した。
- メッシュ品質を維持することで，再メッシュ処理の必要性を回避し，計算コストを削減する。
- ウィルモア型表面穴埋めにおいても，滑らかで高品質な再構成が可能となった。
Swift-Hohenberg方程式に対する滑らか凸凹分割スキームの数学的解析 [cs.RO, math.NA, cs.NA]目的：Swift-Hohenberg方程式の数値解法の数学的性質
- 流体変動などの現象を記述するモデルとして重要であり，物理現象の理解に貢献する。
- 既存の数値解法は計算コストが高く，大規模シミュレーションへの適用が困難である。
- エネルギー保存則を満たしつつ，計算コストを抑えた線形陰解法を開発すること。
- 本研究では，エネルギー消散則を保存する有限差分スキームを提案し，その数学的解析を行った。
- 提案手法は線形陰解でありながら，エネルギー消散則を保持し，解の一意性や有界性を保証する。
- 時間ステップが十分に小さければ，a priori誤差評価も可能であり，数値シミュレーションの信頼性を高める。
物理情報に基づくムンツ・サシャスネットワークによるスケーリング指数探索 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：スケーリング指数の発見
- 特異点や臨界点近傍の物理現象はべき乗則に従うため，その指数を正確に把握することが重要である。
- 従来のニューラルネットワークでは，支配的な指数が暗黙的にしか扱われず，解釈性に課題があった。
- 本研究は，スケーリング指数を学習可能なパラメータとして明示的に扱うことで，この課題を解決する。
- 物理情報に基づくムンツ・サシャスネットワーク（MSN-PINN）は，スケーリング指数を高い精度で復元できることが示された。
- MSN-PINNは，ノイズや疎なサンプリング下でも1〜5%の誤差で単一の指数を復元し，2次元ラプラス方程式のコーナー特異指数を0.009%の誤差で再現した。
- 制約を考慮した学習により，精度が3桁向上し，物理的要件との整合性が確保された。
二変数関数の数値微分：チェビシェフ多項式を用いた手法 [math.NA, cs.NA]目的：二変数関数に対する数値微分法の開発と解析
- 工学や科学計算において，関数の微分は不可欠な操作である。
- 高次元関数やノイズを含む関数の微分は，誤差が大きくなりやすい。
- チェビシェフ多項式を利用し，高精度な数値微分を可能とする手法を確立すること。
- チェビシェフ多項式と双曲交差のアイデアに基づいた新しい切断法を提案した。
- 切断パラメータの選択則を，ノイズレベル，関数の滑らかさ，微分階数を用いて導出した。
- 重み付き積分ノルムと一様計量における明示的な誤差評価を確立した。
偏微分方程式解多様体の近似：疎グリッド補間と求積 [math.NA, cs.NA]目的：偏微分方程式解多様体の疎グリッド近似と求積手法
- 高次元問題の効率的な数値解法が求められている。特に，パラメータ数が増加する問題では計算コストが課題となる。
- 従来の数値解法は次元の呪いにより，パラメータ数が増加すると計算量が指数関数的に増加する。
- 疎グリッドを用いることで，次元の呪いを回避し，高次元パラメータ空間における偏微分方程式の解を効率的に近似することを目指す。
- 抽象的なBochner空間における多変量関数に対する疎グリッド補間と求積の理論的枠組みを確立した。
- 線形拡散方程式と抽象的な正則写像という2つの応用例において，その有効性を検証した。
- 超球状Jacobi汎化多項式カオス展開係数における反対称項の相殺が，次元の呪いを克服する求積の収束率向上に貢献することを示した。
Cahn-Hilliard-Biotモデルに対する分割スキームの収束性と効率性について [math.NA, cs.NA]目的：Cahn-Hilliard-Biotモデルの効率的な解法
- 多孔質媒体における相分離，流体流れ，弾性変形は，地質学的プロセスや材料科学において重要である。
- Cahn-Hilliard-Biotモデルの非線形性，非凸性のため，安定かつ効率的な解法が課題となっていた。
- 本研究は，モデルの離散化を通じて，効率的かつ収束性のある解法を提供することを目的とする。
- 提案された半陰解法は，凸最小化問題と同値であり，理論的な収束性が証明された。
- 分割スキームは空間離散化に対して比較的柔軟であり，適切な不等式が保証される。
- 数値実験の結果，提案解法は効率性と頑健性を示すことが示された。
ベイジアン補間ニューラルネットワーク（B-INN）：大規模物理システムのためのスケーラブルで信頼性の高いベイジアンモデル [math.NA, cs.AI, cs.NA]目的：大規模物理システムにおける不確実性定量のための，スケーラブルかつ信頼性の高いベイジアンモデル
- 物理シミュレーションの精度向上には，不確実性を考慮したモデリングが不可欠である。
- 従来のニューラルネットワークは，大規模データに対してスケーラビリティが低く，信頼性も十分ではない。
- 計算効率と堅牢な不確実性推定を両立し，大規模産業シミュレーションでの活用を目指す。
- B-INNは，高次の補間理論，テンソル分解，交互方向アルゴリズムを組み合わせることで，予測精度を損なうことなく次元削減を実現する。
- 理論的に，B-INNの関数空間はガウス過程の部分集合であり，ベイジアン推論は学習サンプル数に対して線形複雑度$\mathcal{O}(N)$を示す。
- 数値実験の結果，B-INNはベイジアンニューラルネットワークやガウス過程と比較して，20倍から10,000倍高速かつ，堅牢な不確実性推定が可能であることが示された。
カーネル化DMDのためのランダム化手法 [math.NA, cs.NA]目的：大規模データセットに対するDMDの高速化
- 複雑なシステムのダイナミクス解析において，データ駆動型手法の重要性が高まっている。
- 従来のDMDは大規模データに対して計算コストが高く，適用が困難な場合がある。
- カーネル化DMDにおける数値的安定性を向上させ，計算コストを削減すること。
- 提案手法は，RPCholeskyアルゴリズムを用いてカーネル行列を近似し，安定性を高めた。
- 既存のランダム化手法との比較により，数値安定性と情報探索・活用のバランスの優位性が示された。
- ベンチマーク問題における実験により，提案手法の有効性が確認された。
FNWoS: 不規則領域上のα安定レヴィ過程による高次元偏微分方程式に対する分数ニューラルウォークオンフィア法 [math.NA, cs.NA]目的：高次元分数ポアソン方程式の解法
- 高次元偏微分方程式は，金融工学や物理学など多様な分野で現れるため，その効率的な解法が重要である。
- 従来のモンテカルロ法は，次元の増加に伴い計算コストが指数関数的に増加する問題がある。
- ニューラルネットワークを用いてモンテカルロ法の収束を加速し，高次元問題への適用を可能にすることを目指す。
- 提案手法FNWoSは，簡略化されたFWoS推定子とニューラルネットワークを組み合わせることで，従来のFWoSよりも少ない軌道数で高精度な評価を実現した。
- 分数次数αが2に近い場合，経路が長くなる問題を緩和するため，最大ステップ数を設定した打ち切り経路戦略を導入した。
- 訓練ペアをキャッシュし，モンテカルロターゲットを段階的に洗練させるバッファ付き監督機構により，高精度な訓練セットの事前計算が不要となった。
パラメータ化された偏微分方程式に対するニューラルネットワーク訓練における前処理と数値安定性 [cs.CL, cs.CL, cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：パラメータ依存型偏微分方程式の解を近似するニューラルネットワークの訓練における性能向上
- 偏微分方程式は自然科学・工学の基礎であり，多様な現象の記述に不可欠である。
- パラメータ化された偏微分方程式の解法は計算コストが高く，効率的な数値解法が求められている。
- ニューラルネットワーク訓練における数値的不安定性の問題を解決し，計算精度を向上させる。
- 演算子のウェルコンディショニングされたフレーム表現による前処理が，標準的な訓練方法の性能を大幅に向上させる。
- 前処理された行列の標準的な表現では数値安定性を確保できないため，安定した表現形式を提案する。
- 提案手法により，単精度・半精度浮動小数点数での計算が可能となり，精度の低下を回避できる。
QRに基づくベクトル値有理近似の応用 [math.NA, cs.MS, cs.NA]目的：ベクトル値有理近似のためのQR-AAAアルゴリズムの応用
- 数値計算において，関数を近似的に表現する技術は重要である。計算コスト削減や精度向上が期待される。
- 複雑な関数や多変数の関数に対して，効率的な有理近似手法が十分には確立されていない。
- QR-AAAアルゴリズムの適用範囲を広げ，実用的な有効性を示すことを目指す。
- QR-AAAアルゴリズムは，Stokes流れ計算，多変数有理近似，関数の拡張など，多様な計算環境で柔軟に利用できる。
- 新しい数値積分法の開発や，境界要素法における近傍場近似にも応用可能であることが示された。
- QR-AAAは，実用的な有理近似手法として，幅広い分野での活用が期待される。
測地距離計算のための原始・双対レベル集合法 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：表面上の測地距離の計算
- 形状解析や画像処理など，幅広い分野で表面上の最短経路とその距離の計算が重要である。
- 表面の形状が最短経路に影響するため，ユークリッド距離の計算に比べて複雑である。
- 表面を暗黙的に表現することで，制約最小化問題を解き，効率的な測地距離計算を実現する。
- 原始・双対レベル集合法は，ロバストで効率的，かつ実装が容易である。
- 高解像度の偏微分方程式系に対する収束性が理論的に示されている。
- 数値実験により，解法が細分化の極限で測地線に収束することが示唆されている。
機械設計のためのランク削減オートエンコーダ：新規かつ効率的なデータ駆動型トポロジー最適化の推進 [cs.CE, math.NA, cs.NA]目的：トポロジー最適化における高速な前方および逆解析のためのデータ駆動型フレームワーク
- 機械設計において，性能向上と設計期間の短縮が常に求められている。
- 従来のトポロジー最適化は計算コストが高く，効率的な手法が課題となっている。
- データ駆動型アプローチにより，計算コストを削減し，効率的な設計を可能にすること。
- 本研究では，ランク削減オートエンコーダとニューラル潜在空間マッピングを組み合わせることで，トポロジー最適化の効率化を実現した。
- 最適化された形状とそれに対応する機械的応答との関係を高精度に近似するサーロゲートモデルを構築し，計算時間を大幅に短縮した。
- 潜在空間の探索により，新たな形状と応答の生成が可能となり，生成的な機械設計の基盤を提供する。
関数空間における逆問題を解くための分離拡散サンプリング [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：関数空間における逆偏微分方程式問題に対するデータ効率の良い物理モデルを考慮した生成フレームワーク
- 逆問題は，観測データから隠れたパラメータや初期状態を推定する上で重要であり，科学技術の様々な分野で応用されている。
- 従来の拡散モデルを用いた逆問題解決法は，大量のペアデータが必要であり，データが限られた状況下では性能が低下しやすい。
- 本研究は，データ効率を向上させ，物理現象をより効果的に組み込むことで，少ないデータでも高精度な逆問題解決を目指す。
- 提案手法であるDDISは，係数事前分布と正方偏微分方程式モデルを分離することで，データ効率を向上させている。
- DDISは，従来の結合モデルが抱えるガイダンス減衰の問題を回避し，少ないデータでも安定した学習を可能にすることが理論的に示された。
- 実験結果から，DDISはスパースな観測データ下で最先端の性能を発揮し，$l_2$誤差を平均11%，スペクトル誤差を54%改善した。
適応的良性過学習 (ABO): 非定常時系列のオンライン学習のための過パラメータ化RLS [q-fin.ST, cs.LG, cs.MS, cs.NA, math.NA, stat.ML]目的：非定常時系列におけるオンライン学習のための過パラメータ化RLS手法
- 時系列データは現実世界の様々な現象を表現する上で重要であり，正確な予測が求められる。
- 従来の学習理論では，過学習は汎化性能の低下を招くが，近年，良性過学習と呼ばれる現象が注目されている。
- 本研究は，良性過学習のメカニズムを応用し，非定常時系列に適応可能なオンライン学習アルゴリズムを開発する。
- 提案手法であるABOは，数値的に安定なQR分解を用いた指数加重RLSアルゴリズムであり，過パラメータ化モデル特有の二重下降現象を再現する。
- 外国為替や電力需要の予測実験において，ABOは既存のカーネル法と同等の高い精度を達成しつつ，20～40%の高速化を実現した。
- 本研究は，適応フィルタリング，カーネル近似，良性過学習を統合した安定なオンライン学習フレームワークを提供する。
境界領域における登録場のためのパラメータベクトルフロー：衝撃支配流の非線形補間への応用 [physics.flu-dyn, cs.NA, math.NA]目的：パラメータモデル次数縮約における登録手続き
- 複雑な物理現象の数値シミュレーションは計算コストが高く，効率的な近似手法が求められている。
- 従来のモデル次数縮約では，パラメータ空間における解の表現精度が課題となる場合がある。
- 解の集合をより良く近似するパラメータ座標変換を効率的に決定することを目的とする。
- 提案手法は，衝撃やせん断層などのコヒーレント構造の配置を最適化する登録法と組み合わせる。
- NACA翼周りの2次元非粘性遷音流やONERA M6翼周りの3次元粘性遷音流に対する数値実験で有効性が示された。
- 衝撃支配流において，非線形補間による高精度な流体解析が可能となることが示された。
制約付きひずみエネルギー最小化問題の数値解析 [math.NA, cs.NA]目的：制約付きひずみエネルギー最小化問題の数値解法
- 形状変化や流体運動などのシミュレーションにおいて，表面の進化を扱う上で重要である。
- 表面上の点の軌跡を決定する方法が複数存在するが，最適な手法が確立されていない。
- ひずみエネルギー最小化に基づく手法の理論的解析と数値解法の精度評価を行う。
- 連続問題および離散問題のwell-posednessが示された。
- 標準的な$H^1$-conformな有限要素空間を用いた離散化に対する最適な誤差評価が得られた。
- 鞍点問題の数値解析における基礎となる理論的枠組みが確立された。
固定点近接法による$\ell_1$正則化モデルにおける多パラメータ選択のスパース性誘導 [math.NA, cs.NA]目的：スパース性を誘導するための多パラメータ選択
- 信号処理や機械学習において，スパース表現は高次元データの効率的な処理に不可欠である。
- 適切な正則化パラメータの選択は，スパース性の質と解の精度に大きく影響するが，困難な問題である。
- 特定のスパース性パターンを持つ解を得るためのパラメータ選択手法を確立すること。
- 本研究では，多重ペナルティモデルのパラメータ選択と解のスパース性の関係性を理論的に解明した。
- 固定点近接法に基づく効率的なパラメータ選択アルゴリズムを提案し，必要なベクトルを同時に計算可能にした。
- 数値実験により，提案手法が所望のスパース性パターンと高い近似精度を持つ解を生成することが示された。
結合ストークス-ダルシー問題における数値圧力依存性の解析と除去 [cs.FL, math.NA, cs.NA]目的：結合ストークス-ダルシー問題に対する混合有限要素法の誤差評価
- 流体と多孔質媒体の連成問題は，地科学，工学等の分野で重要である。
- 古典的な混合有限要素法では，圧力への依存性が誤差評価の課題となる。
- 圧力ロバストな有限要素法による圧力依存性の除去を目指す。
- 古典的な有限要素法では，速度誤差が圧力と粘度に依存する。
- 一方，圧力ロバストな手法では，圧力と粘度への依存性を除去できる。
- 数値実験により，理論的知見の妥当性が確認された。
拡散モデルにおける反向ノイズ [cs.LG, cs.NA, math.NA, stat.CO, stat.ML]目的：拡散モデルにおける反向ノイズの相関性
- 拡散モデルは画像生成において高い性能を示すが，その生成過程の理解は十分ではない。
- 拡散モデルにおける不確実性の定量化は課題であり，信頼性の高い評価が求められている。
- 反向ノイズの負の相関を利用し，不確実性の定量化の精度向上を目指す。
- 拡散モデルにおいて，ノイズと反ノイズを組み合わせることで強い負の相関が常に現れることが確認された。
- この負の相関により，信頼区間が最大90％狭まり，不確実性の定量化が大幅に改善される。
- 本手法は追加学習や計算コストを必要とせず，様々なモデルやタスクに適用可能である。
ハイブリッド изогеометрический-有限要素法：六面体メッシュ用NURBS拡張有限要素法（NEFEM-HEX） [math.NA, cs.NA]目的：六面体メッシュにおけるNURBS拡張有限要素法の開発
- 複雑な形状のシミュレーション精度向上のため，幾何学的精度と計算効率の両立が重要である。
- 従来の有限要素法では，複雑な形状の表現に限界があり，精度が低下する課題がある。
- NURBSと有限要素法を組み合わせ，複雑形状におけるシミュレーションの精度と効率を向上させる。
- 本研究では，NURBS境界表現を有限要素法に統合するNURBS拡張有限要素法を提案した。
- 境界層にはNURBS拡張有限要素，内部領域には線形ラグランジュ有限要素を使用する手法を採用した。
- 理論的考察に加え，ポアソン問題をモデル問題として数値実験を行い，提案手法の有効性を検証した。
熱方程式に対する稲妻法 [math.NA, cs.NA, math.CV]目的：熱方程式の解法
- 物理現象のシミュレーションにおいて，熱伝導は重要な役割を果たす。
- 複雑な形状や境界条件を持つ領域では，従来の解法では精度が低下する。
- 特異点を含む問題に対しても高精度な解を得る手法の開発が求められる。
- 本研究で提案する手法は，スペクトル精度を持ち，根指数収束を示すことが確認された。
- 広範囲な時間間隔や様々な幾何学的形状に対して頑健性があり，適用範囲が広い。
- ラプラス変換とタルボット積分を組み合わせることで，効率的な数値解法を実現している。
一般化された交互Anderson加速法 [math.NA, cs.NA]目的：線形および非線形問題を解くためのスキーム
- 反復計算の高速化は，科学技術計算において不可欠な要素である。
- 既存のAnderson加速法は，パラメータ設定の柔軟性に乏しい場合がある。
- 固定点反復とAnderson反復の組み合わせによる効率的な加速手法を開発する。
- 提案手法は，線形問題におけるRichardson反復の加速において収束性を示すことが証明された。
- 特に，縮約的な固定点反復下での収束性や，対角化可能な非縮約的なRichardson反復行列に対する十分条件が示された。
- 偏微分方程式や非線形最適化問題における実験結果から，既存手法よりも効率的であることが示された。
偏微分方程式を解くためのデータ統合型ニューラルネットワーク [cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：偏微分方程式の解法
- 科学技術計算の根幹であり，様々な自然現象のシミュレーションに不可欠である。
- 従来の数値解法は計算コストが高く，複雑な形状や境界条件に対応が難しい場合がある。
- データと物理法則を統合し，効率的かつ高精度な解法を提供する。
- 提案手法DataInNetは，データ（源項，初期条件，境界条件）を効果的に活用できる。
- DataInNetは，データ統合ネットワークと残差学習ネットワークの二層構造により，物理制約を満たす解空間を絞り込む。
- Helmholtz方程式や高周波解を持つ偏微分方程式において，高い精度（誤差O(10^-6), O(10^-5)）を達成した。
正規化ラドン累積分布変換の一般化：限られたデータ認識への応用 [math.NA, cs.CV, cs.IT, cs.NA, math.IT]目的：限られたデータにおける画像認識のための特徴表現
- 画像認識は，コンピュータービジョンの根幹であり，多様な応用分野で不可欠である。
- 限られたデータ環境下では，従来の認識手法は性能が低下しやすいという課題がある。
- アフィン変換に不変な特徴表現を構築し，限られたデータ環境での認識精度向上を目指す。
- ラドン累積分布変換（R-CDT）の正規化を一般化することで，柔軟性を高めた。
- 多次元および非ユークリッド空間における一般化されたラドン変換の利用を検討した。
- 提案手法は，特定の変換に対して不変であり，特徴空間での線形分離を可能にすることを示した。
確率的Allen-Cahn問題に対する制約付きTPFAスキームの研究：数値実験 [math.NA, cs.NA, math.AP, math.PR]目的：確率的Allen-Cahn問題に対する数値解法におけるTPFAスキームの有効性
- 相分離現象等のモデリングに不可欠であり，材料科学や物理学に応用が期待される。
- 非線形項の離散化が難しく，安定性や精度を確保することが課題である。
- TPFAスキームを用いた分割法により，効率的かつ高精度な数値解を求める。
- 有限体積スキームと分割法を用いることで，確率的Allen-Cahn方程式の数値近似が可能となった。
- ノイズ項が小さい場合，時間方向の2乗L2誤差は1次のオーダーで収束することが示された。
- ノイズ項が大きい場合，時間方向の収束オーダーが低下する可能性があることが示唆された。
弾性固有値問題に対するロックフリーな混合仮想要素離散化 [cs.CL, cs.CL, cs.HC, math.NA, cs.NA]目的：二次元弾性固有値問題の固有値と固有関数の近似
- 工学設計において，構造物の固有振動数の把握は安定性評価に不可欠である。
- 従来の要素法では，要素形状に依存した誤差が発生し，高精度な計算が困難な場合がある。
- 本研究は，要素形状に依存しない，より高精度な固有値解析手法を確立することを目指す。
- 混合仮想要素法を用いることで，離散解作用素が連続解作用素に収束することを理論的に証明した。
- コンパクト作用素の理論に基づき，固有値と固有関数に対する誤差評価を導出した。
- 数値実験の結果，本手法はロックフリーであり，メッシュの形状に依存せず正確なスペクトル近似が可能であることが示された。
非線形劣拡散方程式における空間依存係数の同定 [math.NA, cs.NA]目的：空間依存係数の再構成
- 偏微分方程式は，物理現象や化学反応など様々な分野で基礎的なモデルである。
- 劣拡散方程式の空間依存係数は，通常直接観測できず，間接的な情報から推定する必要がある。
- 最終時刻の異なる励起下における内部観測データから，空間依存係数を一意に決定すること。
- 固定点スキームを用いて，空間変化する係数を再構成する手法を開発した。
- このスキームの収束性および係数の一意性が数学的に証明された。
- 数値実験により，再構成スキームの性能が検証された。
離散フーリエ変換および逆離散フーリエ変換の反復実行：スパース化による信号ノイズ除去への応用 [math.OC, cs.MS, eess.SP, cs.NA, math.NA, stat.ME]目的：離散フーリエ変換と逆離散フーリエ変換の反復実行アルゴリズム
- 信号処理において，効率的な周波数分析は重要な役割を果たす。
- ノイズ混入下での信号復元は長年の課題であり，高性能な手法が求められている。
- スパース化を利用し，ノイズ除去性能の向上を目指す。
- 提案手法は，離散フーリエ変換の不確定性原理に基づき，実空間と周波数空間の両方でスパース化を適用する。
- シミュレーションにより，提案手法が既存手法と比較して良好なノイズ除去性能を示すことが確認された。
- 特に，周期的なスパイク信号のノイズ除去において高い有効性が認められた。
区分的星型凸関数に対するフランク・ウルフ法：非滑らかな凸関数の差分構造を持つ問題 [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：区分的星型凸関数を持つ，非滑らかな凸関数の差分構造を持つ最適化問題の解法
- 最適化問題は，機械学習，信号処理，制御など，幅広い分野で基礎となる重要な課題である。
- DC最適化問題は非凸であり，効率的な解法が確立されていない場合がある。
- 既存手法では定数が必要だが，本研究ではそれらを必要としないステップサイズ計算手法を提案する。
- 本研究で提案するフランク・ウルフ法の第1バージョンは，停留点に収束することが示された。
- 弱星型凸関数に対する第1バージョンのアルゴリズムの収束率は ${\cal O}(1/k)$ であることが示された。
- 第2バージョンのフランク・ウルフ法では，デュアリティギャップの収束率は ${\cal O}(1/\sqrt{k})$ であることが示された。
大規模グラフィカルモデルにおける周辺分布に対するスタイン法 [physics.soc-ph, cs.SI, math.CO, stat.ML, cs.NA, math.NA]目的：大規模グラフィカルモデルの周辺分布の近似精度向上
- 空間モデルは低次元での効率的な近似とサンプリングを可能にするが，実用上重要な周辺分布の精度制御が課題。
- 既存の近似手法は主に同時分布に焦点を当てており，低次元周辺分布の精度を保証できない。
- 分布の局所性を定量化し，構造的仮定と結びつけることで，周辺分布の誤差範囲を明確化する。
- 局所性を活用することで，近似分布の周辺分布に対する一様誤差限界が次元に依存しなくなることを示した。
- 局所条件δ-局所性を導入し，疎なグラフィカルモデルなどの構造的仮定との関連性を示した。
- 既存のサンプリング手法の局所化により，サンプル複雑性と計算コストを大幅に削減できることを理論的に示した。
スパースDEIMと再帰型ニューラルネットワークを用いた状態推定 [math.DS, cs.LG, cs.NA, math.NA, nlin.CD]目的：動的システムの，観測可能な状態変数のスパースな部分集合からの状態推定
- 複雑な動的システムの正確な状態把握は，気象予測や流体解析など，多様な科学技術分野で不可欠である。
- 従来のデータ同化法は，システムの支配方程式の知識を必要とし，最適なカーネルベクトルへの収束が保証されない場合がある。
- 本研究は，支配方程式を用いず，再帰型ニューラルネットワークを用いて最適なカーネルベクトルを推定することで，この問題を解決する。
- 再帰型ニューラルネットワークを用いることで，瞬間的な観測だけでは推定できないカーネルベクトルを，観測履歴からほぼ最適に推定できる。
- 提案手法をLorenz-96システム，Kuramoto-Sivashinsky方程式，Rayleigh-Benard対流の3つの数値例で検証した結果，良好な状態推定が得られた。
- RNNベースのS-DEIM状態推定は，カーネルベクトルを無視するQ-DEIMと比較して，相対誤差を42%から58%削減した。
テンソル値コルン不等式を用いた線形正則化13モーメント方程式の解の存在と一意性 [math.AP, cs.NA, math.FA, math.NA]目的：線形正則化13モーメント方程式の解の存在と一意性
- 希薄気体流れ等の現象を記述するモデルとして重要であり，古典流体方程式の拡張として利用されている。
- モーメント方程式は付加的な方程式を含むため，解析が困難であるという課題がある。
- テンソル値コルン不等式を導入し，鞍点問題に対するLBBフレームワークを用いて解の存在と一意性を示す。
- 線形化されたR13モーメントモデルの解の存在と一意性が証明された。
- テンソル構造に対応した新しい強制性評価式（コルン型不等式）が確立された。
- 本研究は，対応する離散化スキームの数値解析の基礎となる。
複素BSDE法：金融におけるオプション価格決定と最適停止問題に対する完全前方法 [q-fin.CP, cs.NA, math.NA, q-fin.PR]目的：金融数学におけるオプション価格決定と最適停止問題の解法
- 金融工学の発展において，正確かつ効率的な価格決定とリスク管理が不可欠である。
- 複雑な金融商品の価格決定や最適停止問題は，計算コストが高く，近似解に頼らざるを得ない場合が多い。
- 高次元問題における効率的な数値解法を開発し，既存手法の計算コストを削減すること。
- 複素BSDE法は，従来の深層学習ベースBSDE法を拡張し，複数のBSDEを同時に解くことを可能にする。
- 提案手法は，オプション価格決定やベルミュダオプションの価格決定といった最適停止問題に対し，高い精度と計算効率を示す。
- 事後誤差評価により，解の精度を理論的に保証し，信頼性の高い数値解を提供することが可能である。
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