arXiv雑要約
数値解析 - 2025/12/19 公開
TENG++：深層ニューラルネットを用いた一般境界条件下の偏微分方程式解法のための時間発展型自然勾配法 [cs.LG, cs.AI, cs.NA, math.NA, stat.ML]目的：偏微分方程式の解法
- 物理，生物，工学分野における複雑な系のモデル化において，偏微分方程式は不可欠である。
- 従来の数値解法は，高次元や複雑な問題に対して十分な精度を得ることが困難である。
- 複雑な境界条件を伴う偏微分方程式を高精度に解くための手法を確立することを目指す。
- 提案手法は，ディリクレ境界条件を扱うTENGフレームワークを拡張し，安定性と精度を確保した。
- 熱方程式に関する実験の結果，ヘウン法は2次補正により優れた精度を示し，オイラー法はより単純なケースで効率的であることが示された。
- 本研究は，ノイマン境界条件やより広範な偏微分方程式への拡張の基礎を築き，実用的なソルバー開発に貢献する。
資源を最大限に活用：行列計算のための効率的なランダム化アルゴリズム [math.NA, cs.DS, cs.NA, stat.CO]目的：限られたデータ量で，高速かつ高精度な行列計算を可能とするランダム化アルゴリズムの設計
- 計算線形代数は，科学計算，機械学習，量子情報科学など，幅広い分野で基盤技術として重要である。
- ランダム化アルゴリズムの精度や安定性は，浮動小数点演算環境において課題となる場合がある。
- 限られたデータ量で効率的に情報を活用し，既存手法の課題を解決する。
- 正定値行列の低ランク近似において，ランダムピボットCholesky (RPCholesky)アルゴリズムが高い速度と信頼性を示す。
- 行列ベクトル積のみでアクセス可能な行列の属性推定において，leave-one-outアプローチに基づいた最適化アルゴリズムを開発した。
- 過決定線形最小二乗問題に対し，後方安定性を保証する高速なランダム化アルゴリズムを開発し，浮動小数点演算における問題点を解決した。
ニューラルネットワークの時間周波数解析 [math.NA, cs.IT, cs.LG, cs.NA, math.IT]目的：ニューラルネットワークの近似理論
- 機械学習の性能向上には，ニューラルネットワークの理論的理解が不可欠である。
- 標準的なニューラルネットワークの近似能力には限界があり，より効率的なネットワーク構造が求められている。
- 時間周波数解析のツールを用いて，ニューラルネットワークの近似性能を定量的に評価し改善を目指す。
- 重み付き変調空間における近似率が，Sobolevノルム上で次元に依存しない形で証明された。
- 変調ベースのネットワークは，ReLUネットワークよりもSobolev近似において優れた性能を示すことが数値実験で確認された。
- Feichtinger代数やFourier-Lebesgue空間など，様々な関数空間における近似定理が導かれた。
曲線領域における3次元Stokes方程式に対する発散のないパラメータ付有限要素法 [math.NA, cs.NA]目的：3次元Stokes方程式の解法
- 非圧縮流体シミュレーションにおいて重要な役割を担うStokes方程式の数値解法は不可欠である。
- 複雑な形状の領域における高精度な数値解法は，依然として課題となっている。
- 曲線領域における高精度かつ発散のない数値解法を提案し，その有効性を検証すること。
- 提案法では，曲線四面体メッシュ上で高次のパラメータ付Brezzi-Douglas-Marini要素と体積要素を用いることで，高精度な解を得ている。
- IPDG技術を利用し，混合有限要素対のinf-sup条件を証明し，エネルギーノルムにおける高次の最適誤差評価を導出した。
- 離散化された速度は厳密に発散がなく，曲線計算領域においてdiv uh = 0が成立することを示した。
二次非線形性を持つシュレーディンガー方程式の数値再構成 [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：2次元準線形楕円型偏微分方程式におけるポテンシャルの再構成
- 量子力学や非線形光学など，多様な物理現象のモデルとして重要である。
- 非線形項の存在により，ポテンシャルを正確に特定することが困難である。
- 非線形ディリクレ・ノイマン写像からポテンシャルを数値的に再構成する手法を開発する。
- 高次の線形化法を適用することで，未知のポテンシャルに関するフーリエデータを計算する。
- 計算されたフーリエデータを逆変換することで，ポテンシャルを再構成することが可能となった。
- 滑らかおよび不連続なテストケースの両方において，正確な再構成が数値実験で確認された。
理想磁気流体力学のための局所発散のない局所特性分解に基づくパス保存型中心風上スキーム [eess.SY, cs.SY, math.NA, cs.NA]目的：理想磁気流体力学方程式に対するスキーム
- 宇宙空間物理学やプラズマ制御において重要であり，高精度な数値シミュレーションが求められる。
- 従来のスキームは数値拡散が大きく，解の精度を損なう場合がある。
- 数値拡散を低減し，解の精度向上を目指す。
- 提案スキームは，局所発散のない特性分解を用いることで数値解の精度を向上させている。
- 低拡散化の拡張であり，ベンチマークテストを通じてその有効性が確認された。
ベンジャミン・ボナ・マホニー，コルテヴェーグ・ド・フリース，および非線形シュレーディンガー方程式に対する質量，運動量，エネルギーの保存 [math.NA, cs.NA]目的：複数の不変量を保存する高次の数値離散化スキーム
- 偏微分方程式の数値解法において，物理量の保存則を厳密に満たすことは，計算の安定性と精度向上に不可欠である。
- 従来の数値解法では，長時間の計算において誤差が蓄積しやすく，物理量の保存則が破綻することが多い。
- 本研究は，質量，運動量，エネルギーを数値精度内で保存する，高次の陽型数値スキームを開発することを目的とする。
- 提案手法は，ベンジャミン・ボナ・マホニー，コルテヴェーグ・ド・フリース，非線形シュレーディンガー方程式に対して，質量，運動量，エネルギーを保存することが確認された。
- この保存特性により，長時間のシミュレーションにおける数値誤差の増大が抑制されることが示された。
- 空間にはフーリエガレルキン法，時間には直交射影と緩和法を組み合わせることで，効率的な計算が可能となった。
真多次元発展演算子とWENO再構成を用いた新しい完全離散的アクティブフラックス法 [math.NA, cs.NA]目的：二次元音響方程式に対するアクティブフラックス法とWENO法の高精度化
- 音響現象のシミュレーションは，工学設計や基礎研究において不可欠である。
- 既存の数値解法では，安定性や計算精度に課題が残る場合がある。
- 真多次元発展演算子を用いることで，安定性と精度を向上させることを目指す。
- 新しいアクティブフラックス法とWENO法は，第三次精度で二次元音響方程式を解くことができる。
- 線形安定性解析により，スキームの最大CFL数を決定した。
- 連続および不連続問題に対する数値実験により，粗いグリッド上でもロバスト性と精度が確認された。
ウィーナーカオス分解による後方確率微分方程式のオイラースキーム [math.NA, cs.NA, math.PR]目的：後方確率微分方程式の数値解法
- 金融工学等の分野で重要な確率過程のシミュレーションに不可欠である。
- 従来のスキームはマルコフ構造に依存し，汎用的な終端条件に対応できない場合がある。
- ウィーナーカオス分解を用いて，より広範な終端条件に対応可能な解法を構築する。
- ウィーナーカオス分解に基づくオイラースキームを提案し，実装を可能とした。
- 提案手法は，従来のマルコフ構造に依存するスキームと異なり，任意の$\mathcal{F}_T$-可測な終端条件に対応する。
- 数値実験により，提案手法の有効性と収束性を確認した。
マルチフィデリティ遅延受容：深層ニューラルネットワークによる多重ソルバーの組み合わせを通じたベイズ逆問題のための階層的MCMCサンプリング [cs.HC, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：ベイズ逆問題に対する多重フィデリティ遅延受容スキーム
- 物理モデルに基づく逆不確実性定量は計算コストが高く，効率的なサンプリング手法が求められている。
- 高精度なデータ生成コストが高く，低精度なデータのみでは逆問題の精度が低下する可能性がある。
- 異なる精度のソルバーを組み合わせることで，計算コストを抑えつつ逆問題の精度を向上させる。
- 提案手法は，様々な精度のソルバーの予測を組み合わせる多重フィデリティニューラルネットワークを用いることで，高精度なシミュレーションを削減する。
- 異種粗解像度ソルバーを階層構造に組み込むことができ，柔軟性が高い。
- 地下水流や反応拡散系のベンチマーク問題において，計算コストの大幅な削減と精度向上が確認された。
非負性保存切断セル不連続ガレルキン法：拡散波方程式への応用 [math.NA, cs.NA]目的：拡散波方程式に対する非負性保存切断セル不連続ガレルキン法の提案
- 地形変化のある水路等の流れを予測する上で，精度の高い数値解法が不可欠である。
- 複雑な地形やメッシュに対応できる汎用的な非負性保存解法の開発が課題であった。
- 浅水方程式の近似解法に対し，より高精度で安定な非負性保存解法を確立すること。
- 提案手法である不連続ガレルキン法は，傾斜面上のBarenblatt解析解に対して，2次精度を達成した。
- 一方，有限体積法は1次精度にとどまり，不連続ガレルキン法と同程度の解を得るには，3～4倍のメッシュ分割が必要となった。
- 本手法は，複雑な地形やメッシュに対応可能であり，ManningやChezyの摩擦則も扱える。
量子コンピュータにおける励起状態計算の状況分析 [math.NA, cs.NA, quant-ph]目的：量子コンピュータ上の励起状態計算手法の状況
- 量子化学や物性物理において，基底状態だけでなく励起状態の計算が不可欠である。
- 励起状態計算は基底状態計算に比べ，最適化が難しく，変分崩壊の問題も起こりやすい。
- 直交制約を組み込んだVQEモデルの最適化特性を解析し，その有用性を検証する。
- 本研究では，直交制約を組み込んだ3つのVQEモデルを分析し，それらの停留点と局所最適解の状況を厳密に解析した。
- 解析の結果，これらのモデルは局所最小値が必ずしも大域最小値となる特性を持つことが理論的に保証された。
- さらに，量子資源要件と古典最適化の複雑さを考慮し，3つのモデルを比較検討した。
障害物のある平均曲率流：効率的な近似と収束解析 [math.NA, cs.NA]目的：障害物のある平均曲率流の数値計算手法
- 幾何学的形状の進化を理解する上で不可欠であり，画像処理や材料科学などに応用が期待される。
- 既存手法では，障害物の制約を効率的に扱い，数値計算の安定性を確保することが課題であった。
- 障害物の制約を考慮した平均曲率流の安定性と収束性を保証する効率的な数値解法の開発。
- 提案手法は，Merriman-Bence-Osherスキームを拡張し，障害物制約を効率的に組み込むことで，計算コストを抑えている。
- 幾何学的比較原理と最小運動解釈により，スキームの安定性と，粘性解への収束が理論的に証明された。
- 空間的に離散化されたモデルに対しても，最小運動解釈に基づき収束性が示され，物理モデルへの適用例も提示された。
多重調和スプラインパッケージ：構成，効率的な計算と微分手順 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：多重調和スプラインパッケージの構成と，効率的な計算・微分手順
- 機械学習におけるカーネル法の性能は，適切なカーネルの選択に大きく依存する。
- 多重調和スプラインの直接的な応用には，計算コストや高次元空間における理論的仮定の破綻といった課題がある。
- 未知の低次元構造を持つ問題に対して，スケーラビリティと理論的妥当性を両立する手法を開発すること。
- 多重調和スプラインのパッケージをカスケード状に構成するアーキテクチャを提案し，計算コストを削減した。
- 提案手法は，高次元空間においても理論的な根拠を持ち，スケーラビリティを向上させる。
- 前方計算とエンドツーエンドの微分を効率的に行うための行列演算手順を提示した。
多角形要素を用いた疎な演算子適応ウェーブレット分解による多重スケール有限要素法 [physics.comp-ph, cs.NA, math.NA]目的：多重スケール有限要素法のウェーブレット分解
- 複雑な形状の解析において，有限要素法は不可欠な手法である。
- 計算コストとメモリ使用量が，大規模な問題に対して課題となる。
- 適応的な要素分割と疎な演算子を用いることで計算効率を向上させる。
- 提案手法では，非構造化多角形メッシュ階層上でウェーブレット分解を行う。
- 異なる解像度レベルを分離し，各スケールを独立に解くことでメモリ効率を改善する。
- 階層的な疎線形代数演算により，ほぼ線形時間複雑度で解を計算する。
多孔質媒体方程式における非局所圧力に対する収束型有限差分・直交多項式スキーム [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：多孔質媒体方程式における非局所圧力の数値近似
- 多孔質媒体は地盤，岩石など様々な自然現象に現れ，その流れの理解は重要である。
- 非局所圧力を含む方程式の数値解法は，既存の手法では安定性や収束性の問題がある。
- 本研究は，非局所圧力を伴う多孔質媒体方程式の安定かつ収束的な数値解法を提案する。
- 積分形式を用いた新しいスキームを構築し，一次元空間における正の解に対して，一意解への局所一様収束性を示す。
- 確率論のアイデアを利用し，近似解の弱収束性（正規化を必要とする場合あり）を証明した。
- 初期データにDiracデルタ関数を用いた場合の基本解についても解析し，数値実験で結果を確認した。
データ拡張によるアンサンブル学習における不変性の証明 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：データ拡張を通じたニューラルネットワークアンサンブルにおける不変性の学習
- 機械学習において，データの構造に合わせたモデルの設計は重要であり，不変性はその基礎となる概念である。
- 既存研究では，不変性の学習が特定の条件下に限定され，より広範なモデルや設定への適用が課題となっていた。
- 本研究は，ニューラルネットワークの幅やアーキテクチャに依存しない，不変性学習の一般的な条件を明らかにすることを目指す。
- アンサンブル学習において，データ拡張により不変性が学習されることが，ニューラル接線核極限に依存せず証明された。
- この結果は，確率的設定や一般的なアーキテクチャにおいても成立し，不変性学習の適用範囲を広げる。
- 簡単な数値実験により，理論的結果の妥当性が確認された。
l1事前分布に対するHadamardランジュバン動力学 [math.NA, cs.NA]目的：l1事前分布からのサンプリング手法
- ベイズ逆問題において，スパース性を誘導するl1事前分布が広く利用されている。
- 既存のランジュバン法は近接写像や滑らかな近似に依存し，目的の分布を変化させる可能性がある。
- Hadamard積によるl1ノルムのパラメータ化に基づき，正確な事後分布を得る手法を開発する。
- Hadamardランジュバン動力学(HLD)は，近接型やミラー型ランジュバン法とは異なる拡散過程を定義する。
- 連続および離散HLDの適切な設定に関する厳密な理論を確立した。
- 非凸かつ非滑らかな事後分布からのサンプリングに対する理論的根拠を提供する。
角運動量を持つグロス・ピタエフスキー方程式に対するエネルギーに基づくhp-適応勾配流れ有限要素離散化 [math.NA, cs.NA]目的：角運動量を持つグロス・ピタエフスキー方程式の基底状態波動関数とエネルギーの計算
- ボース・アインシュタイン凝縮などのマクロな量子効果のシミュレーションは，科学技術の進歩に不可欠である。
- 量子渦の数と位置が不明な場合，既存の数値手法では高精度な計算が困難である。
- エネルギー減少に基づくhp-適応戦略によって，高精度で効率的な計算を実現することを目指す。
- 提案手法は，複数のテスト問題において指数関数的な収束性を示し，高い精度を達成した。
- エネルギーに基づくhp-適応戦略は，誤差評価子を使用しないため，効率的である。
- 離散ソボレフ勾配降下法と有限要素法を組み合わせることで，非線形問題を効果的に解決した。
交互共役分割法について [math.NA, cs.NA]目的：交互共役分割法の提示と解析
- 長時間のシミュレーションにおいて安定性が重要であり，効率的な数値解法の開発が求められる。
- 複素係数を用いた既存の分割法は，長時間の安定性に課題がある場合が多い。
- 複素係数の分割法における長時間の安定性を改善し，より効率的な手法を提案する。
- 新しいクラスの交互共役分割法は，線形ユニタリー系および線形ハミルトニアン系に対して良好な長時間挙動を示すことが示された。
- 本手法は，実係数の最新分割法よりも効率的であり，特定のクラスの問題に対してより優れた性能を発揮する。
- 最大6次の新しい分割法を提示し，その保存特性を詳細に研究した。
ヒルファー分数階微分を含む非線形初期値問題に対する数値ベルンシュタインスプライン法 [math.NA, cs.NA]目的：非線形ヒルファー分数階微分初期値問題の解の数値近似
- 分数階微積分は，従来の整数階微積分では記述困難な現象のモデリングに不可欠である。
- ヒルファー分数階微分問題の解は，$t_0$近傍で特異性を示すため，数値近似が困難である。
- 特異解を含む非線形ヒルファー分数階微分初期値問題に対する高精度な数値解法を提案する。
- 本研究では，ベルンシュタインスプライン法を用いて，ヒルファー分数階微分を含む非線形初期値問題の解を精度良く近似した。
- 解析解との収束条件と漸近的収束率を明らかにし，ベクトル化と並列化による効率的な実装を実現した。
- 数値実験により，提案法が従来のAdams-Bashforth-Moulton法よりも高い精度を持つことが示された。また，分数階Van der Pol振動子への適用も行った。
波の方程式に対する適応有限要素法と明示時間積分 [math.NA, cs.NA]目的：波の方程式の有限要素解に対する誤差評価と適応メッシュ戦略
- 波の伝播現象のシミュレーションは，工学，地球物理学等，広範な分野で重要である。
- メッシュの細かさによっては，時間刻みの制約が厳しく，計算効率が低下する問題がある。
- 時間発展メッシュと局所時間刻みを用いて，CFL条件の制約を緩和し，計算精度を向上させる。
- 提案手法は，誤差指標に基づき，時間発展メッシュ上で最適な収束率を達成することが示された。
- 局所メッシュの細分化に対応するため，リープフロッグ法に基づく局所時間刻みを採用している。
- 誤差が小さい領域ではメッシュを粗くすることで，計算コストの削減に貢献する。
楕円問題に対する拘束を満たす保存形豊潤化Galerkin法 [math.NA, cs.NA]目的：楕円問題に対する物理的な境界条件を保存する局所保存形豊潤化Galerkinスキーム
- 工学や物理学の様々な問題において，楕円偏微分方程式は基本的なモデルとして重要である。
- 過剰なペナルティ化によるスキームの不安定性や条件数の悪化が課題となっている。
- 離散解の不連続部分と連続部分を分離し，良好な性質を持つ部分問題を構築することで，上記課題を解決する。
- 提案されたスキームは，離散解の存在と最適な誤差評価を数学的に証明することに成功した。
- 過剰なペナルティ化による条件数の悪化を回避するため，巧妙な分割アプローチを導入した。
- 数値実験の結果は，理論的な予測と一致し，スキームの有効性を裏付けている。
乱流シミュレーションのための新しいデータ駆動型エネルギー安定進化-フィルタ-緩和モデル [math.NA, cs.NA, physics.flu-dyn]目的：乱流シミュレーションにおけるフィルタリングと緩和ステップの定義に関する新しい手法
- 乱流は，気象，海洋，航空など様々な分野で重要な現象であり，その正確なシミュレーションが求められている。
- 従来の乱流モデルは，計算コストが高いか，精度が十分でないという課題があった。
- データ駆動型アプローチにより，高精度かつ効率的なフィルタリング手法を開発し，シミュレーションの安定性を向上させる。
- 提案手法は，周波数領域におけるDNSデータに基づき，最適なフィルタを決定することで，従来の微分フィルタやSmagorinskyモデルを凌駕する精度を実現した。
- エネルギーとエンストロフィー保存則に基づき緩和パラメータを決定することで，数値的な振動を抑制し，計算の安定性を高めた。
- 提案手法のフィルタリングは，線形システムを解く必要がないため，計算効率も優れている。
低ランクテンソルの同質幾何学 [math.NA, cs.NA, math.DG]目的：低ランクテンソルの集合における同質多様体の構造
- テンソル分解は，高次元データの効率的な表現と処理に不可欠である。
- テンソル空間の幾何学的構造は，十分には解明されていない。
- 特定のランクのテンソル集合の滑らかな多様体構造を明らかにすること。
- CPランクおよびTTランクの場合，ランクが十分に低いことが同質構造の条件となる。
- 得られた同質構造を用いて，完備かつ計算効率の良い測地線を持つリーマン計量を導出した。
ベクトル最適化によるFFT用グリディングアルゴリズムの最適化 [math.NA, cs.NA]目的：FFTにおけるグリディングカーネルの最適化手法
- FFTはMRI，CT，干渉計測など広範な分野で必須技術である。その性能が重要視されている。
- 実用的なFFT実装にはグリディング技術が必要だが，カーネル選択が性能を左右する課題がある。
- ベクトル最適化により，目的とする誤差関数に最適化されたカーネルを設計し，精度向上を目指す。
- ベクトル最適化の枠組みを導入し，誤差形状演算子のパレート効率解として最適なカーネルを特徴づけた。
- 提案手法によるカーネルは，特定の領域においてPSWFやMIRT-NUFFTよりも優れた性能を発揮し，平均絶対誤差を大幅に低減した。
- 本研究は，アプリケーション固有の要件に合わせたカスタマイズされた精度プロファイルを提供するカーネル設計の可能性を示唆する。
初期時刻の弱い特異性を持つ緩和時間分数伝播方程式に対する新しい高速有限差分スキーム [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：緩和時間分数伝播方程式を解くための新しい二次の高速有限差分スキーム
- 物質の輸送現象や拡散現象を記述する上で，分数階微分方程式は重要な役割を果たす。
- 初期時刻における解の非滑らかさに対する既存スキームの精度と安定性に課題が残る。
- 初期時刻の弱い特異性に対する安定性と収束性を保証するスキームを開発すること。
- 提案スキームのユニーク性，安定性，収束性が証明された。
- 時間方向と空間方向の両方において，二次の収束オーダーが確認された。
- 数値例により，スキームの有効性が検証された。
機械学習と制御：基礎，進展，そして展望 [math.OC, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：深層学習を含む機械学習アーキテクチャにおける制御理論の応用
- 機械学習の発展は，社会の様々な分野において革新をもたらしており，その重要性は増している。
- 深層学習モデルの解釈性や最適化，計算効率などの課題が残されており，更なる改善が求められている。
- 制御理論の枠組みを機械学習に応用し，その性能向上と新たな知見の獲得を目指す。
- 深層学習の分類・表現特性において，同時可制御性やアンサンブル可制御性といった制御理論的概念が新たな洞察を提供する。
- 静的システムの制御と最適化は，浅いネットワークの性能理解に役立つ。
- 拡散過程の古典的性質が，現代の生成AIの成功を説明する上で重要な役割を果たす。
外挿を用いた事前条件付き二次の凸分解アルゴリズム [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：非凸最適化問題に対するアルゴリズムの提案
- 現代の機械学習やデータ科学において，非凸最適化問題は広く存在し，その効率的な解決が不可欠である。
- 既存のアルゴリズムは，計算コストが高く，大規模な問題に対して適用が難しい場合がある。
- 本研究は，効率的かつ計算コストを抑えた非凸最適化問題の解法を開発し，実用的な応用を目指す。
- 提案アルゴリズムは，二次の逆向き微分公式（BDF2）と外挿法を組み合わせ，事前条件化プロセスによりサブ問題を簡略化する。
- 理論的解析により，Kurdyka-\L ojasiewicz特性に基づいたアルゴリズムのグローバル収束性が証明された。
- 数値実験の結果，提案アルゴリズムは，ベンチマーク問題，SCAD正則化付き最小二乗法，画像セグメンテーション問題において高い効率性を示した。
- 1