arXiv雑要約

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数値解析 - 2025/12/18 公開

• 誘電体および磁性体界面への平面波の垂直入射に対する Yee FDTD スキームの精度 [cs.CG, math.NA, cs.NA, math-ph, math.MP, physics.comp-ph]目的：誘電体および磁性体界面への平面波の垂直入射シミュレーションにおけるYee FDTDスキームの精度評価

  • 電磁波シミュレーションは，アンテナ設計や光デバイス開発など，様々な工学分野で不可欠である。
  • FDTD法は高精度だが，界面処理が誤るとシミュレーション結果に大きな誤差が生じる。
  • 界面の離散化誤差を定量的に評価し，精度向上のための指針を示す。
  • Yeeスキームにおける界面モデルは，物質の不連続性を空間ステップ1つ分の移行層に広げていることが示された。
  • 移行層モデルを用いて，この移行層が原因となる系統的な誤差を定量的に評価した。
  • クーラン数と界面の離散化誤差が精度に与える影響を明らかにし，最適条件を提示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14863

• 逆問題への明示的な拘束力法拡張 [math.NA, cs.NA, math-ph, math.MP]目的：逆問題解決のための明示的な拘束力法適用可能性

  • 物理モデルの不確実性下でのソリューション再構成は，工学や科学の多くの分野で重要である。
  • 逆問題はパラメータ推定が困難であり，ノイズの影響を受けやすいという課題がある。
  • 本研究は，明示的な拘束力法を逆問題に適用し，その有効性を検証することを目指す。
  • 明示的な拘束力法を逆問題に適用する定式化を提案し，標準的な手法との比較を行った。
  • 動的問題への拡張や，ノイズを含む測定データへの対応手法を新たに示した。
  • 確率的要素を持つモデルに対する逆問題解決法として，拘束力法と多項式カオス展開を組み合わせた手法を提示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14877

• ベクトル最適化によるFFT用グリディングアルゴリズムの最適化 [math.NA, cs.NA]目的：FFT用グリディングカーネルの最適化

  • MRI，CT，干渉計測など幅広い分野でFFTが利用されており，その効率的な実装が重要である。
  • 均一にサンプリングされたデータへの依存性から，実用上はグリディング技術が不可欠だが，カーネル選択が性能を大きく左右する。
  • ベクトル最適化の枠組みを用いて，目的とする誤差関数に合わせたカーネルを設計し，精度向上を目指す。
  • ベクトル最適化により，最適なカーネルをパレート効率的な解として特徴付ける厳密なフレームワークを確立した。
  • 提案手法で生成されたカーネルは，特定の領域において，PSWFやMIRT-NUFFTといった既存手法を凌駕する性能を示した。
  • 平均絶対誤差において桁違いの改善が見られ，アプリケーション固有の要件に合わせた精度プロファイルのカスタマイズが可能であることが示唆された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14914

• PINNsによる境界条件強制：3次元形状における比較研究と検証 [math.NA, cs.LG, cs.NA]目的：PINNsにおける境界条件強制手法の比較と，複雑な3次元形状への適用可能性の検証

  • 物理現象や工学問題を数値的に解く上で，境界条件の正確な設定は非常に重要である。
  • 複雑な3次元形状においては，従来のメッシュベースの手法で境界条件を強制することが困難である。
  • PINNsの境界条件強制手法を体系的に比較し，複雑な3次元形状問題への適用を可能にすること。
  • PINNsの境界条件強制手法を比較した結果，手法によって精度や安定性に差が見られた。
  • 提案手法は，様々な偏微分方程式や境界条件に対して，汎用的に適用可能であることが示された。
  • 本研究は，PINNsを既存の数値解法と競合できる成熟した手法として確立するためのステップとなる。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14941

• 運動方程式に対する動的テンソルトレイン近似 [math.NA, cs.NA]目的：運動方程式の数値解法

  • プラズマ物理や輸送現象など，多次元相空間を持つ方程式の解法は重要である。
  • 高次元相空間のため，計算コストやメモリ使用量が膨大になるという課題がある。
  • テンソルトレイン形式を用いることで，メモリ使用量と計算コストの大幅な削減を目指す。
  • 本研究では，テンソルトレイン形式とプロジェクタースプリッティング積分法を組み合わせた動的低ランク近似法を提案した。
  • 速度空間における分布関数の低ランク構造を利用し，効率的な計算を実現している。
  • 提案手法の有効性は，いくつかの代表的な運動方程式に対する数値実験によって示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14950

• 決定式に基づくCUR行列近似のエラー境界：オーバーサンプリングとボリュームサンプリング [math.NA, cs.NA]目的：CUR行列近似におけるエラー境界の導出

  • 大規模データ処理において，行列近似は計算コスト削減と効率化に不可欠である。
  • 既存手法では，近似誤差の厳密な評価が難しく，近似精度が保証されない場合がある。
  • 決定式を用いた手法で誤差を評価し，オーバーサンプリングの効果を定量化すること。
  • 決定式を用いた行列近似誤差評価の新たな理論的基盤を確立した。
  • オーバーサンプリングにより，CUR近似の誤差が線形に減少することを示した。
  • 提案手法は，一般的な行列と対称正定値行列の両方に適用可能である。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15102

• 幾何学的情報を活用した代数多重グリッド事前条件付き反復法：高次有限要素システムの解法 [math.NA, cs.NA]目的：高次有限要素離散化から生じる線形システムの効率的な解法

  • 科学技術計算において，大規模なシミュレーションの高速化は重要課題である。
  • 高次有限要素法のソルバーは，特に非構造化メッシュ上で，効率的なものが少ない。
  • 幾何学的情報を活用して，効率的な代数多重グリッド法を開発し，大規模問題に対応する。
  • 提案手法(GIAMG)は，p-粗化を導入することで，粗グリッドオペレーターの疎性を高め，計算効率を改善した。
  • 3次元ヘルムホルツ方程式や非圧縮性流体問題への適用において，メッシュサイズに依存しない収束性を示した。
  • 既存のAMGパッケージ(Hypre, ML)との比較により，GIAMGの優れた並列スケーラビリティが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15121

• 初期時間における弱い特異性を持つ緩和時間分数伝播方程式に対する新しい高速有限差分スキーム [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：緩和時間分数伝播方程式の解法のための新しい二次の高速有限差分スキーム

  • 輸送現象のモデリングにおいて，時間分数微分方程式は非古典的な拡散現象を記述する上で重要である。
  • 初期時間における解の非滑らかさへの対処は，数値解法の安定性と精度を保証する上で課題となる。
  • 初期時間における弱い特異性に対する収束性と安定性を保証する効率的な数値スキームを開発すること。
  • 提案スキームは，時間と空間の両方で二次の収束性を達成することが証明された。
  • 解が初期時間に滑らかでないという仮定の下で，スキームの一意性，安定性，収束性が検証された。
  • 数値例によって，スキームの有効性が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15141

• 最適化された位相誤差を持つ高精度2階微分DIRK法 [math.NA, cs.NA]目的：高精度2階微分DIRK法の設計と解析

  • 常微分方程式や偏微分方程式の数値解法は，科学技術計算の根幹をなす重要な分野である。
  • 既存のDIRK法では，高精度化に伴い計算コストが増大し，位相誤差の制御が課題となっていた。
  • 位相誤差を最適化することで，計算効率と精度を両立する新たなDIRK法を開発することを目的とする。
  • 本研究では，2段4次，2段5次，3段5次TDDIRK法の新しい族を導出した。
  • これらのTDDIRK法は，従来のDIRK法と比較して，精度と効率の両面で優れていることが数値実験により示された。
  • TDDIRK法の収束性や線形安定性についても解析を行い，その理論的根拠を明確にした。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15227

• 集団細胞ダイナミクスにおけるフロック形成からジャミングへの移行：接触力を組み込んだVicsekモデル [cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：集団細胞ダイナミクスにおけるフロック形成とジャミング現象のモデル化

  • 生物組織の形成や機能維持において，細胞集団のダイナミクス理解は重要である。
  • 既存モデルでは，細胞間の接触力や相互作用を十分に考慮できていない場合がある。
  • 細胞間の接触力を組み込んだモデルにより，集団細胞ダイナミクスのより現実的な記述を目指す。
  • 提案モデルは，フロック形成における秩序-無秩序転移と高密度状態におけるジャミング効果を再現しうる。
  • 本モデルは，細胞集団の複雑なダイナミクスや組織の流れを理解するための理論的ツールとなりうる。
  • 古典的なVicsekモデルと接触力を組み合わせることで，より包括的なモデルを構築した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15305

• マクスウェル固有値問題に対する連続有限要素法：正則分解技術を用いた手法 [math.NA, cs.NA]目的：マクスウェル固有値問題の数値解法

  • 電磁場解析は，様々な工学分野において不可欠であり，高性能な計算手法が求められている。
  • 従来の有限要素法では，高次解の精度向上に課題があり，計算コストが増大する可能性がある。
  • 正則分解技術により，より高精度かつ効率的なマクスウェル固有値問題の解法を開発すること。
  • 正則分解技術を用いることで，ベクトルポテンシャル空間とスカラーポテンシャル空間を高精度に分解することが可能になった。
  • 標準的な高次ラグランジュ有限要素を用いた新しい数値解法を提案し，固有値近似の完全収束オーダーを証明した。
  • 数値実験の結果，提案手法の有効性と理論的収束結果が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15314

• 双曲線三角関数を近似カーネルとするウェーブレットとその特性 II [math.NA, cs.NA, math.FA]目的：関数の近似手法

  • 関数近似は，科学技術計算やデータ解析において不可欠な要素である。
  • 従来の近似手法では，計算コストや精度に課題が残されている場合がある。
  • 双曲線三角関数に基づく新しいウェーブレットによる高精度な関数近似を実現する。
  • 双曲線三角関数を基底関数とする新しいウェーブレットを構築した。
  • このウェーブレットは，時間周波数分解能が高く，解析やフィルタリングに適している。
  • 多重四次関数や薄板スプラインなど，他の基底関数にも一般化可能である。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15317

• 可変摩擦則を持つ浅い粒状流のモーメントモデル [math.NA, cs.NA, math-ph, math.MP]目的：浅い粒状流のモデル化手法

  • 地形災害予測や土砂流の挙動解析において，粒状流の正確なシミュレーションが不可欠である。
  • 既存モデルでは，複雑な摩擦則や垂直方向の速度変化を十分に考慮できていない場合がある。
  • 様々な摩擦則を組み込み，より現実的な粒状流のシミュレーションを可能にすること。
  • 浅水モーメント方程式と速度場の多項式展開に基づき，垂直方向に変化する速度プロファイルを考慮したモデルを開発した。
  • マニング，クーロン，サベージ・ハッター，μ(I)レオロジーなど，一般的な摩擦則をモデルに組み込む手法を提案した。
  • 源項の硬直性を適切に扱うため，多項式粘性行列法に基づくパス保存型有限体積法を開発した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15332

• 変動する基盤メッシュに対する行列補間による一貫性のあるパラメトリックモデル次数縮約 [math.NA, cs.NA, math.DS]目的：変動する基盤メッシュにおけるパラメトリックモデル次数縮約手法の開発

  • 有限要素法シミュレーションの高速化が求められる中，パラメトリックモデル次数縮約は有効な手法である。
  • 幾何学的パラメータを扱う場合，基盤メッシュの自由度やトポロジーが揃っている必要があり，それが困難な場合がある。
  • 異なる離散化で表現された基底空間を比較し，不整合を検出しつつ，メッシュ変動と基底補間によりこの問題を解決する。
  • 提案手法は，スプリングアナログやRBF補間といったメッシュモーフ手法を用いて高い精度を達成した。
  • 既存の変動メッシュに対するパラメトリックモデル次数縮約手法と比較して，大幅な性能向上を示した。
  • サンプリングされた縮約基底を連続的な変位場として捉え，参照メッシュで表現することで実現した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15373

• ランダム直交化とクリロフ部分空間法：原理とアルゴリズム [math.NA, cs.NA]目的：ランダム直交化技術とクリロフ部分空間法の原理とアルゴリズム

  • 大規模線形代数問題の計算コスト削減は重要である。並列計算環境での効率化が求められている。
  • 従来の直交化手法は計算量が多く，並列化が困難であるという課題があった。
  • ランダム直交化による計算コスト削減と数値安定性の向上を目指す。
  • ランダム直交化技術は，並列アーキテクチャにおける計算・通信コストを削減する強力な手法である。
  • 本研究では，ランダム化されたグラム・シュミット法とハウスホルダーQRアルゴリズムの主要な変形を概観する。
  • これらの手法を線形方程式系，固有値問題などの大規模線形代数問題に適用することで，計算効率が向上する。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15455

• 粗いノイズを持つ確率的カーン・ヒリアード方程式に対するロバストな事後誤差解析 [math.NA, cs.NA]目的：粗いノイズを持つ確率的カーン・ヒリアード方程式の適応有限要素近似の事後誤差評価

  • 相分離現象のモデリングにおいて，確率的カーン・ヒリアード方程式は重要な役割を担う。
  • 粗いノイズに対するロバストな誤差評価は，数値シミュレーションの信頼性を確保する上で課題である。
  • 界面幅パラメータやノイズ正則化パラメータに依存しないロバストな事後誤差評価手法を確立すること。
  • 事後誤差評価が界面幅パラメータとノイズ正則化パラメータに対してロバストであることが示された。
  • 適切な空間正則化を施した白色ノイズを用いることで，確率的カーン・ヒリアード方程式を扱いやすくした。
  • 提案された適応アルゴリズムの有効性が数値シミュレーションによって検証された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15495

• マクスウェル方程式に対する時空間スペクトルコローケーションテンソルネットワークアプローチ [eess.SY, cs.SY, cs.CE, physics.comp-ph, physics.data-an, stat.ME, cs.MM, cs.HC, math.NA, cs.NA]目的：マクスウェル方程式の数値解法

  • 電磁波現象の解析は，工学分野において不可欠であり，その高精度な数値シミュレーションが求められる。
  • 従来の数値解法では，計算コストが膨大になることが課題であり，特に大規模な問題に対しては適用が困難である。
  • テンソルネットワークを活用し，計算コストを削減しつつ，高精度な電磁波シミュレーションを実現することを目指す。
  • 本研究では，時空間スペクトルコローケーション法とテンソルネットワーク技術を組み合わせることで，マクスウェル方程式の効率的な数値解法を開発した。
  • 提案手法は，理論的にスペクトル収束性を持つことが証明され，数値実験によりその有効性が確認された。
  • 計算量は格子点数に対して線形に増加するため，大規模な問題への適用も可能である。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15631

• パラメータ化定常放射輸送方程式に対する簡約基底法 [math.NA, cs.NA]目的：パラメータ化された定常放射輸送方程式の効率的な数値解法

  • 放射輸送方程式は，放射の伝播と物質との相互作用を記述する基礎モデルであり，幅広い分野で重要である。
  • 高次元なモデル構造のため，従来の数値解法では計算コストが膨大になるという課題がある。
  • 簡約基底法を用いて，計算コストを削減しつつ高精度な解を得ることを目指す。
  • 提案する簡約基底法は，GalerkinまたはPetrov-Galerkin投影に基づき，異なる解像度の近似ソルバーを構築する。
  • 吸収断面積が正に有界な条件下では，近似解の精度を検証可能であり，数値的な安定性も確保されている。
  • 数値実験により，提案手法は，フルオーダーモデルと比較して，4～6桁の高速化を実現することが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15640

• 一般化連続体力学における材料データ同定 [math.NA, cs.NA]目的：一般化連続体力学における材料挙動の同定

  • 微細構造を持つ材料の挙動を予測するため，高次の連続体力学が重要視されている。
  • 従来の材料モデルは，構成則の仮定に依存し，複雑な材料挙動を捉えきれない場合がある。
  • 実験データから直接材料データを取り出し，モデル化の自由度を高めることを目指す。
  • 提案手法は，非古典的な平衡方程式と適合条件を用いることで，高次の応力状態を確実に抽出可能である。
  • 抽出された材料データは，モデル校正やモデルフリーのデータ駆動型シミュレーションに利用できる。
  • 数値シミュレーションとメタマテリアルの解析を通して，微細構造固体材料の特性評価への応用可能性を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15646

• 量子化テンソルトレインの時間積分：補間動的低ランク近似 [math.NA, cs.NA]目的：量子化テンソルトレインを用いた時間積分スキームの性能評価

  • 多次元・高解像度データの効率的な近似と操作が求められ，テンソルトレインが重要な役割を果たす。
  • 従来のDLRAは線形システムに限定され，非線形システムへの適用が課題であった。
  • 非線形システムや非線形演算を必要とする時間積分にDLRAを適用する。
  • 補間DLRAスキームは，従来の直交型DLRAと比較して，非線形システムにおいて良好な性能を示す。
  • 本研究は，アップウィンド時間積分スキームなどの非線形要素ごとの演算を必要とする時間積分器に適した手法を示す。
  • 量子化テンソルトレインと補間DLRAの組み合わせが，複雑な数値シミュレーションに有効であることが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15703

• 単軸試験からパス依存型深層学習材料モデルを訓練するための試験片設計：自動微分可能な弾塑性トポロジー最適化によるひずみ多様性の引き出し [physics.comp-ph, cs.NA, math.NA]目的：単軸試験を用いた深層学習材料モデルの訓練のための試験片設計

  • 材料モデリングは，構造設計やシミュレーションにおいて不可欠であり，その精度が性能に大きく影響する。
  • 従来の材料モデルの訓練には多様なデータが必要だが，標準的な試験片では十分なひずみ状態を得るのが困難である。
  • トポロジー最適化によって試験片形状を設計し，単軸試験だけでも多様なひずみ状態を実現することで，データ収集の負担を軽減する。
  • 本研究では，自動微分可能な弾塑性トポロジー最適化を用いて試験片を設計することで，単一の試験片から深層学習モデルを訓練できることを示した。
  • トポロジー最適化により，単純な単軸荷重下で多様な応力-ひずみ状態を引き出し，実験的な負担を大幅に削減できる。
  • ADiMU法を用いることで，ニューラルネットワークによる材料モデルの代理モデルを効率的に訓練することが可能となった。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14963

• 非圧縮流における障害物周りの分岐と牽引力 [physics.flu-dyn, cs.NA, math.NA]目的：非圧縮性ナビエ・ストークス流路における分岐現象の解明

  • 流体現象の理解は，工学設計や自然現象の予測に不可欠である。
  • 流れの分岐現象は予測が難しく，数値シミュレーションに高度な技術が求められる。
  • 分岐点の予測を，計算コストを抑えつつ実現することを目指す。
  • 定常流における牽引力プロファイルの変動と，非定常流における長期的な流れの変化との間に対応関係が見られた。
  • 分岐現象として，対称性の破れ，振動，そして複数の定常解の出現が確認された。
  • 本研究は，分岐点の検出のための計算コスト削減戦略の可能性を示唆している。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15424

• 脳循環における多重スケールモデリング：脳血管ネットワークにおける解剖学的変動と狭窄条件下での血行動態再分配とネットワーク経路解析 [cond-mat.mtrl-sci, cs.SY, eess.SY, physics.chem-ph, quant-ph, cs.RO, cs.SY, eess.SY, physics.comp-ph, physics.med-ph, cs.NA, math.NA]目的：脳血管ネットワークにおける血行動態再分配の解析

  • 脳血管ネットワークは，脳血流を安定化させる上で重要な役割を果たす
  • 解剖学的変動や血管狭窄により，血行動態の予測が困難である
  • 脳血管ネットワークにおける血行動態再分配メカニズムの解明
  • 本研究では，全身血行動態モデルと画像情報に基づく脳動脈ネットワークモデルを結合させた多重スケールモデルを開発した。
  • モデルは脳血管自動調節メカニズムを組み込み，正常，解剖学的変動，狭窄条件下での血行動態再分配を定量的にシミュレーションした。
  • シミュレーション結果は，実験的および経頭蓋ドップラー観察と一致しており，脳血管ネットワークの動的な再構成を定量的に評価できることを示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.15482

• 離散フーリエ変換による実数上のフーリエ変換近似の定量評価 [math.NA, cs.NA]目的：実数上定義関数のフーリエ変換の数値計算における誤差評価

  • フーリエ変換は信号処理や画像解析など，様々な分野で基礎的なツールとして利用されている。
  • 数値計算では，無限に続く関数を有限のデータで近似する必要があり，誤差が課題となる。
  • 関数の減衰性や滑らかさと，サンプリング数・間隔・グリッドサイズの適切な関係を導出する。
  • 関数の減衰性や滑らかさに基づいて，離散フーリエ変換による近似誤差の正確な評価を導出した。
  • サンプリング間隔，グリッドサイズ，およびサンプル数を関連付ける新たな手法を提示した。
  • 数値計算の精度向上に貢献する，サンプリングパラメータの設計指針を提示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2403.03810

• ノイズのないサンプリングアルゴリズムと正則化されたWassersteinプロキシマルの収束 [math.NA, cs.NA, math.ST, stat.TH]目的：ターゲット分布からのサンプリングのための収束特性

  • 確率モデルの学習や推論において，効率的なサンプリング手法は不可欠である。
  • 従来のマルコフ連鎖モンテカルロ法は，収束が遅く，バイアスが大きいという課題がある。
  • BRWP法の収束性を理論的に保証し，最適なステップサイズを明らかにすること。
  • BRWP法は，強ログ凹面ターゲット分布に対して，Kullback-Leibler divergenceに基づいて収束が保証される。
  • BRWP法は，Unadjusted Langevin Algorithm(ULA)などの古典的なLangevin Monte Carlo法よりも高速な収束と低いバイアスを示す。
  • 得られた結果は，数値実験によって検証されている。

  Link: https://arxiv.org/abs/2409.01567

• 重み評価：前処理なしのランダム化ブロックKaczmarzアルゴリズムと正則化 [cs.LG, cs.NA, math.NA, math.OC, stat.ML]目的：線形最小二乗法における効率的なデータサンプリング手法の開発

  • 機械学習や科学計算において，データ量は増大の一途を辿っており，効率的なアルゴリズムが不可欠である。
  • 既存のランダム化ブロックKaczmarz法は，収束のため複雑な前処理を必要とすることが課題となっていた。
  • 前処理不要な均一サンプリング下での収束性を解析し，正則化による性能改善を目指す。
  • 均一サンプリング下では，RBKの反復計算は重み付き最小二乗解にモンテカルロ的に収束することが示された。
  • 重み付き最小二乗解のバイアスや反復計算の分散が大きくなる問題に対し，正則化を加えることで制御可能となった。
  • 提案手法ReBlocKは，自然勾配最適化を含む実験において，RBKやミニバッチ確率的勾配降下法を上回る性能を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2502.00882

• ベイズ逆問題に対する局所感度分析 [math.NA, cs.NA]目的：ベイズ逆問題における不確実性定量のための局所感度分析の拡張

  • ベイズ統計は，不確実性を考慮した合理的推論を可能にするため，科学技術の様々な分野で重要である。
  • ベイズ逆問題の計算コストが高く，事後分布の評価が困難であるという課題が存在する。
  • 事後分布のモーメントを効率的に近似し，計算コストを削減することを目指す。
  • 局所感度分析（摂動アプローチ）をベイズ逆問題に拡張し，漸近展開によるモーメント近似が可能であることを示した。
  • 測定演算子と予測関数が十分に滑らかであるという仮定の下で，理論的結果の有効性が確認された。
  • 数値実験によって理論結果が示され，提案手法の有用性が検証された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2503.20526

• より安全なプロンプト：視覚生成AIにおける記憶のリスク軽減 [math.NA, cs.AI, cs.NA]目的：視覚生成AIにおける記憶リスクの軽減策

  • 視覚生成AIは画像生成に優れるが，学習データ記憶によるリスクが課題である。
  • モデルが学習データを記憶し，知的財産権侵害等の安全性の問題を引き起こす。
  • プロンプト設計により記憶リスクを軽減し，AIの安全な利用を促進すること。
  • プロンプト設計により，生成画像と学習データの類似性を低減できることが示された。
  • 画像生成の品質や美観を維持しつつ，記憶リスクを効果的に軽減することが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.03338

• ハイブリッドCG-Tikhonov法はCGランツォスベクトルのフィルタリングである [math.NA, cs.NA]目的：線形逆問題を解くための反復法の研究

  • 逆問題は，画像処理や機械学習など，多くの分野で重要な役割を果たす。
  • 逆問題は，解が一意に定まらず，ノイズの影響を受けやすいという課題がある。
  • CG-Tikhonov法のフィルタリング効果を理論的に解明し，パラメータ選択規則の改善を目指す。
  • CGT反復解は，ランツォスフィルタによってCG反復解の項がフィルタリングされる形で表現できる。
  • ランツォスフィルタはTikhonovパラメータに依存し，パラメータが大きくなるにつれて減衰する性質を持つ。
  • 数値実験により，適切なパラメータ選択がランツォスベクトルの適切な減衰に対応することが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.24056

• 二次元双調和問題に対するIPDG定式化のための一般化ヘッセ行列に基づく誤差評価子 [math.NA, cs.NA]目的：二次元双調和問題の誤差評価

  • 工学における構造解析など，多様な分野で高精度な数値計算が求められている。
  • 高次解法では誤差の定量化が難しく，信頼性の高い誤差評価子の開発が課題である。
  • 本研究は，双調和問題に対するIPDG法において，より精度の高い誤差評価子を提案する。
  • 提案する誤差評価子は，多項式次数が3より大きい場合に信頼性と効率性が証明された。
  • 従来のDG残差誤差評価子によって上から抑えられることが示された。
  • 数値実験により，提案手法の有効性が，多項式次数が2以上の範囲で確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2507.05776

• 波方程式に対する適応有限要素法：陽解法による時間積分 [math.NA, cs.NA]目的：波方程式の有限要素解に対する事後誤差評価に基づく適応戦略

  • 波動現象のシミュレーションは，工学や科学の様々な分野で不可欠である。
  • メッシュ細分化による時間ステップ長の制限が，計算効率を低下させる。
  • 局所的なメッシュ改良と時間ステップ調整により，安定性の制約を克服する。
  • 事後誤差評価に基づき，時間発展型メッシュと局所時間ステップを組み合わせた適応戦略を提案した。
  • 誤差指示子を用いて精度を監視し，所望の許容誤差を満たすまでメッシュを再計算する。
  • 時間発展型メッシュ上の事後誤差評価器の最適な収束率を数値的に確認した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2507.11193

• 近特異線積分に対する特異点交換求積法の安定化 [math.NA, cs.NA]目的：近特異線積分における特異点交換求積法の安定化手法

  • 3次元空間における曲線上の密度分布によるポテンシャルの評価は，様々な物理シミュレーションにおいて重要である。
  • 特異点交換求積法は，分子と分母が共にほぼゼロになる特異なカーネルに対して，数値誤差が大きくなるという問題がある。
  • カーネルの分子の振る舞いを明示的に組み込んだ新しい基底関数を用いることで，この問題を解決することを目的とする。
  • 提案手法は，標準的な特異点交換求積法よりも，非常に近い評価距離において，最大10桁低い誤差を達成する。
  • この手法は，機械精度に近い精度でプロトタイプ積分を評価できることが示された。
  • 計算コストの増加もわずかである。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.23881

• 電流を流す導体における熱方程式の数値・解析モデリング：Finite-JAXによる実装 [math.NA, cs.NA]目的：電流を流す導体内の熱分布のモデリング

  • 電子機器や電力システムの構造的完全性，効率，長期信頼性に熱分布は不可欠である。
  • 導体内の熱分布の正確な予測は，複雑な形状や境界条件設定が困難である。
  • 熱方程式に基づき，導体内の抵抗加熱を厳密にモデル化する手法を確立する。
  • 数値計算の結果は，解析解に収束し，期待される精度で誤差が減少することが確認された。
  • L-infinityノルム，L1ノルム，L2ノルムにおける誤差はそれぞれ1.981 K，0.8975 K，0.7917 Kであった。
  • テンソル計算においては，TPUがGPUやCPUを上回る最高のパフォーマンスを発揮した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.24162

• 距離空間におけるデータ内在的な近似 [math.NA, cs.NA, stat.ML]目的：有限距離空間間のサイト・ツー・バリュー写像の正則性を測るデータ内在的な量としての離散連続性のモジュラスの一貫性

  • 現代社会においてデータ分析・処理は不可欠であり，膨大な計算資源を必要とする。
  • 計算負荷軽減のためデータ圧縮・近似が重要だが，構造的仮定なしに正則性を測ることは困難である。
  • データ内在的な量を用いて，ラベル付きデータの効率的な近似理論を構築することを目指す。
  • 離散連続性のモジュラスが，サイト・ツー・バリュー写像の正則性を測る有効な量であることが示された。
  • 無限データ極限における離散連続性のモジュラスの一貫性が検証され，効率的な計算アルゴリズムが提案された。
  • 統計的不確実性を持つデータに対して，多水準近似空間と多水準モンテカルロ法を用いた統計量計算が検討された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2510.13496

• 非線形クライン-ゴルドン方程式を解くためのニューラルマルチスケール分解 [math.NA, cs.NA]目的：非線形クライン-ゴルドン方程式の解法

  • 相対論的・非相対論的領域における波動現象の理解に不可欠であり，物理学の根幹をなす。
  • 従来の数値解法では，高周波振動によるスペクトルバイアスや伝播の失敗が生じやすい。
  • スペクトルバイアスと伝播の失敗を軽減し，より高精度な解を得ることを目指す。
  • 提案手法NeuralMDは，高周波の時間振動をマルチスケール時間積分器で吸収し，スペクトルバイアスを緩和する。
  • さらに，ゲート付き勾配相関補正戦略により，中周波の時間振動による伝播の失敗を抑制する。
  • 実験結果から，様々な初期条件において，既存手法よりも優れた性能を示すことが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.00266

• リチウム電池における結晶成長をモデル化した偏微分方程式系の解の存在 [math.AP, cond-mat.mtrl-sci, cs.NA, math.NA]目的：リチウム電池におけるデンドライト構造形成を記述する偏微分方程式系の弱解の存在

  • リチウムイオン電池はエネルギー貯蔵技術として重要であり，その性能向上は不可欠である。
  • リチウム金属電極におけるデンドライト成長は，安全性と寿命を低下させる大きな問題である。
  • デンドライト成長のメカニズムを解明し，その抑制策を開発することが本研究の目的である。
  • 偏微分方程式系の弱解の存在が数学的に証明された。
  • 数値シミュレーションにより，モデルがデンドライト状の解を持つことが示された。
  • 得られた結果は，リチウム電池の安全性向上に貢献する可能性がある。

  Link: https://arxiv.org/abs/2310.16202

• 離散確率的最大正則性 [math.AP, cs.NA, math.FA, math.NA, math.PR]目的：抛物型確率発展方程式の数値解法の離散正則性評価

  • 確率微分方程式は，物理，工学，金融など幅広い分野で不可欠なモデルである。
  • 数値解法における離散正則性は，解の精度や安定性に大きな影響を与える。
  • 連続的な正則性との関係を明らかにすることで，新たな離散正則性結果を提供する。
  • 離散確率的最大$\ell^p$-正則性の特徴づけを，連続的なものとの関連で示した。
  • 指数の$p$に関する外挿や，べき乗重みに関する外挿など，離散確率的最大正則性の重要な性質が確立された。
  • $H^\infty$-関数演算を用いて，トレース空間ノルム$D_A(1-\frac1p,p)$における強力な離散的最大評価式が得られた。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.22145

• 有限JAXを用いた壁面境界流のクロスモデル検証 [q-bio.OT, cs.DL, math.GR, cs.DM, physics.flu-dyn, cs.NA, math.NA]目的：壁面境界流のクロスモデル検証

  • 流体解析の理論的理解と計算手法の発展には，壁面境界流の正確な予測が不可欠である。
  • 数値シミュレーションの精度検証は難しく，信頼性の高い結果を得るための課題が存在する。
  • 数値解と解析解を比較することで，シミュレーションの信頼性を高める手法を確立すること。
  • 有限JAXによる数値シミュレーションと，ハゲン・ポアズイユの解析解との比較検証を行った。
  • 速度分布に関して，数値解と解析解が一致することから，有限JAXのシミュレーション精度が確認された。
  • 有限JAXのL2ノルムは0.014765であり，高い精度を示すことがわかった。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.25569

• 外挿を用いた事前条件付き2次凸分解アルゴリズム [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：非凸最適化問題に対するアルゴリズムの開発

  • 現代の機械学習やデータ科学において，非凸最適化問題は広く存在する。
  • 既存のアルゴリズムは計算コストが高く，効率的な解法が求められている。
  • 計算コストを抑えつつ，非凸問題を効率的に解くアルゴリズムを提案する。
  • 提案アルゴリズムは，2次BDF法と外挿法を組み合わせることで，効率的に非凸問題を解く。
  • 事前条件化された暗黙的・明示的スキームにより，サブ問題を簡略化し，計算負荷を軽減する。
  • Kurdyka-Łojasiewicz性質を用いた理論的解析により，アルゴリズムのグローバル収束性が証明された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.14468

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