arXiv雑要約
数値解析 - 2025/12/17 公開
連続関数の多項式近似の改善：準同型写像との合成による [math.NA, cs.NA]目的：連続関数の多項式近似能力の向上
- 近似理論は，科学技術計算において不可欠であり，高精度な計算を可能にする基盤である。
- 高次元問題では，次元の呪いにより，標準的な数値手法の効率が著しく低下する。
- 有限個の極値を持つ関数に対し，高精度な近似を実現する手法を開発する。
- 多項式と準同型写像の合成により，連続関数空間において密な関数族が得られることが示された。
- 特に，多変数の近似問題において，次元の呪いを緩和する可能性が示唆された。
- 逆ニューラルネットワークを用いて準同型写像をパラメータ化することで，回帰タスクや分子ポテンシャルエネルギー表面の構築において有効性が確認された。
ステップサイズ変更による共シミュレーション誤差 [cs.CE, cs.NA, math.NA]目的：連続時間共シミュレーションにおけるステップサイズ変更に起因する誤差
- 複雑なシステムを解析する上で，複数のシミュレーションを連携させる共シミュレーションは不可欠である。
- 共シミュレーションでは，シミュレーション間の変数の不整合が誤差の原因となることがある。
- ステップサイズ変更が誤差を増大させる状況を解明し，その対策を検討する。
- 一定の条件下において，ステップサイズを小さく変更しても，誤差が大きくなる場合があることが示された。
- これは，変数の時間積分を内部状態として持つシミュレーションユニット間で発生しやすい。
予測的意思決定のための適応型デジタルツイン：状態遷移ダイナミクスのオンラインベイズ学習 [cs.SI, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：土木工学におけるデジタルツインの価値実現の向上
- 社会インフラの老朽化が進み，効率的な維持管理が喫緊の課題となっている。
- 既存のデジタルツインは，現実の変化への適応性が低く，精度が低下する可能性がある。
- 状態遷移モデルをオンラインで学習し，デジタルツインの適応性と予測精度を向上させる。
- 動的ベイズネットワークを用いて，物理的・仮想的領域間の双方向相互作用をモデル化する枠組みを提案した。
- 状態遷移確率をランダム変数として扱い，共役事前分布を用いることで，オンラインベイズ学習を可能にした。
- 鉄道橋の構造健全性モニタリングとメンテナンス計画のケーススタディにより，有効性を検証した。
Sn中性子輸送方程式のReduced Order Modelingのためのオフライン最大化最小侵襲Proper Orthogonal Decomposition [math.NA, cs.NA]目的：Sn中性子輸送方程式のReduced Order Model構築
- 中性子輸送計算は，原子力分野において重要な役割を担う。高精度なシミュレーションが不可欠である。
- Sn方程式の厳密解法は計算コストが高く，実用上の制約となる場合がある。
- 計算コストを削減しつつ，精度の高い近似解を得ることを目指す。
- 提案手法であるOMMI-PODは，既存手法と比較して大幅な計算時間の短縮を実現した。
- 2次元のテスト問題において，FOMと比較して1600倍の高速化を達成し，誤差も小さく抑えられた。
- オフラインでの輸送計算により，オンライン段階での高速な解法を可能とした。
変動する融解温度を持つ一次相ステファン問題の逆問題 [cs.RO, math.NA, cs.NA]目的：一次相ステファン問題における融解温度の時間変化と，それに対応する逆問題の解法
- 相変化を伴う現象の理解は，金属加工や結晶成長など，様々な工学分野で重要である。
- 融解温度が時間変化する場合，その予測や制御は困難であり，正確な数値解法の確立が課題である。
- 時間変化する融解温度を，形状の変化から推定する逆問題の解法を提示することで，この課題の解決を目指す。
- 時間変化する融解温度を持つステファン問題の正問題および逆問題を解くための数値アルゴリズムを開発した。
- 移動メッシュ有限要素法を用いることで，形状の時間発展と融解温度の時間変化を同時に解析可能であることを示した。
- 数値シミュレーションにより，提案手法の有効性を確認し，融解温度の推定精度を評価した。
離散化された連続関数の最適化のための多重尺度法 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：離散連続関数の最適化手法
- 最適化問題は，科学技術の様々な分野で不可欠であり，効率的な解法が求められている。
- 高次元空間における連続関数の最適化は，計算コストが大きく，困難な問題である。
- 計算コストを削減しつつ，高精度な最適解を得ることを目指す。
- 粗グリッドでの最適化から始め，徐々に細かいグリッドで最適化を行う多重尺度法を提案した。
- 理論的解析により，単一尺度最適化よりも優れた誤差限界と計算効率が示された。
- 確率密度推定問題における数値実験で，既存手法と比較して10倍以上の高速化を達成した。
微分情報に基づくフーリエニューラル演算子：汎用近似と偏微分方程式制約最適化への応用 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：偏微分方程式制約最適化における微分情報に基づくフーリエニューラル演算子(DIFNO)の近似理論と効率的な学習手法
- 機械学習と物理シミュレーションの融合は，計算コストを削減し，複雑な問題を解決する可能性を秘めている。
- 高次元の偏微分方程式を扱う際，高精度なサロゲートモデルの構築と，その微分情報の正確な算出が課題である。
- DIFNOを用いることで，演算子とその微分の両方を高精度に近似し，偏微分方程式制約最適化を効率的に行うことを目指す。
- DIFNOは，従来のFNOと比較して，サロゲートモデルのFréchet微分精度が向上し，偏微分方程式制約最適化において優れた性能を示す。
- 連続微分可能な演算子に対して，FNOとそのFréchet微分のコンパクト集合上での同時汎用近似性と，重み付きソボレフ空間における汎用近似性が理論的に証明された。
- 次元削減やマルチ解像度技術を用いた効率的な学習スキームにより，Fréchet微分学習のメモリコストと計算コストを大幅に削減できる。
不均一複合材料における熱伝導の適応ウェーブレット・ガレルキンモデル [math.NA, cs.NA]目的：不均一複合材料における過渡的な熱伝導解析
- 複合材料は軽量化や高強度化に貢献し，様々な分野で利用が拡大している。
- 複合材料内の温度分布は複雑であり，高精度な熱伝導解析が課題となっている。
- 材料界面や境界層付近の温度勾配を効率的に捉えること。
- 適応ウェーブレット・ガレルキン法を用いることで，温度勾配を効率的に解析できた。
- ウェーブレット係数に基づく適応解像により，自由度数を大幅に削減できた。
- 層状，インクルージョン型，機能勾配型複合材料において，計算効率の向上と高精度な解析結果が得られた。
静的脳波問題に対する重み付きグループLasso [math.NA, cs.NA]目的：静的逆脳波問題における未知の神経源の再構成
- 脳活動の解明は，神経科学および臨床応用において重要である。
- 脳波の逆問題は，解の一意性が保証されず，再構成精度が低い。
- 脳波の逆問題における空間分解能と精度向上を目指す。
- 提案手法は，深さバイアスと方向バイアスを効果的に軽減できることが示された。
- 理論的な保証は幅広い重み付け定義で成立するものの，実用的な再構成品質は重み付け戦略に依存する。
- 打ち切られたムーア・ペンローズ擬逆行列を用いることで，低い双極子局所化誤差（DLE）が得られた。
ヘルムホルツ伝送問題に対する直接・間接バートン・ミラー方程式を用いた効率的なLU分解 [math.NA, cs.NA]目的：ヘルムホルツ散乱問題における透過性散乱体に対する直接・間接混合バートン・ミラー境界積分方程式
- 音響・電磁波散乱問題の厳密解法は，構造物の設計や非破壊検査などに応用上重要である。
- 従来の境界積分方程式法は，大規模問題に対して計算コストが高くなるという課題がある。
- 提案手法は，LU分解を活用することで計算効率を向上させ，より大規模な問題への適用を目指す。
- 提案された境界積分方程式に基づく直接ソルバーは，通常の定式化に比べて約40%高速である。
- 提案手法は，LU分解を用いた高速直接ソルバーへの応用が可能であり，その有効性が示された。
- この定式化は，境界値問題における非線形固有値の探索にも有効であり，解の一意性に関わる。
非発散形二階の均一楕円型偏微分方程式に対する有限要素法の解析 [math.NA, cs.NA]目的：非発散形二階の均一楕円型偏微分方程式および楕円型ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式に対する有限要素法の解析
- 偏微分方程式は，工学や物理学の様々な現象を記述する上で不可欠な数学的ツールである。
- 非発散形の偏微分方程式は，解析が難しく，数値解法の精度向上が課題である。
- 本研究は，既存の数値解法の精度と適用範囲を拡大することを目的とする。
- 有限要素法による数値解の離散$W^{2,p}$-ノルムにおける最適収束性が，凸多面体上で証明された。
- 二次元非凸多角形においては，$p$の値に関する有効範囲が拡張された。
- ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の係数の連続性に関する既存の仮定が緩和された。
非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の構造保存型変分多重尺度安定化法 [math.NA, cs.NA]目的：非圧縮性ナビエ-ストークス方程式に対する構造保存型変分多重尺度安定化法の提案
- 流体シミュレーションは，工学設計や気象予測など，幅広い分野で不可欠な技術である。
- 数値シミュレーションにおいて，微細なスケールを適切に扱うことは困難であり，数値的不安定性や精度低下の原因となる。
- 本研究は，微細スケールの影響を考慮しつつ，安定性と収束性を確保した数値解法を開発することを目的とする。
- 有限要素外微分幾何学（FEEC）フレームワークを用いることで，連続空間と離散空間における幾何学的・位相的構造を保存し，安定した離散化を可能にした。
- 提案手法は残差に基づくエネルギー安定性を持ち，最適収束性を示すことが理論的に証明された。
- 微細スケール問題の並列解法が可能であり，粗視点離散化のみで問題サイズが決定される効率的な計算手法を実現した。
確率微分方程式の近似のための深層学習フレームワークSPINNs [math.NA, cs.NA]目的：確率微分方程式の近似解
- 物理現象の予測において，確率的な変動を考慮したモデルが不可欠である。
- 確率微分方程式の厳密解を得ることが困難な場合が多い。
- Levyノイズ駆動の確率微分方程式を深層学習で効率的に近似すること。
- 本研究では，確率的物理情報ニューラルネットワーク（SPINNs）と呼ばれる深層学習フレームワークを提案した。
- SPINNsは，Levyノイズによって駆動される確率微分方程式の解を近似するための数学的枠組みを提供する。
機械学習のための付加的 preconditioner を用いた信頼領域法 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：深層ニューラルネットワークの学習における大規模非凸最適化問題の効率的な解法
- 機械学習，特に深層学習は，大規模かつ非凸な最適化問題の解決に依存する分野である。
- 既存手法では，目的関数の荒い地形により，収束が遅延する課題がある。
- 並列 preconditioner の利点を活用し，収束を加速する手法を開発する。
- 提案手法は，付加的なSchwarz補正を用いた信頼領域法であり，パラメータ空間を分割して並列処理を行う。
- その結果，高速な収束を実現し，ハイパーパラメータ調整の必要性を低減する。
構造化ノイズを用いた分離不要な指数関数フィッティング：放物型偏微分方程式における逆問題への応用 [math.NA, cs.NA, math.OC]目的：指数関数の指数と振幅の回復
- 逆問題は，様々な科学技術分野において，未解明の現象の解明やシステムの特性評価に不可欠である。
- 逆問題は一般に，解が一意に定まらない，または微小な入力変化に大きく影響を受けるため，解くことが困難である。
- 構造化ノイズを考慮することで，逆問題の不安定性を抑制し，高精度な解を導くことを目指す。
- 構造化ノイズ（Sturm-Liouville演算子の後続の固有値に基づく指数和）を用いることで，指数と振幅を指数関数的に高精度に回復できることが示された。
- 古典的なProny法は，「分離不要」な条件下（固有値が無限大に発散する場合）においても解析的に最適な誤差減衰を達成することが示された。
- 本手法で得られた近似固有値を用いて，線形反応拡散方程式における未知のポテンシャルを離散解跡から回復できることが示された。
経験的数値積法に基づくモデル次数削減における訓練複雑性の低減 [cs.RO, eess.SY, cs.SY, math.NA, cs.NA]目的：経験的数値積法に基づくモデル次数削減の訓練複雑性の低減
- 大規模な動的システムの近似は，計算コスト削減に不可欠であり，リアルタイム性を実現する上で重要である。
- 非線形システムでは，非線形項の近似がボトルネックとなり，効率的なオンライン計算を妨げている。
- 訓練データの構造化圧縮により，計算コストとメモリ使用量を削減し，大規模問題への適用を目指す。
- 提案手法は，訓練データに対する構造化圧縮を導入することで，オフライン計算コストを大幅に削減することを示した。
- 計算コストとメモリ使用量の削減は，約1桁程度であり，より大規模な問題への応用を可能にする。
- エラー解析と数値実験により，提案手法が精度を維持することが確認された。
セミロバストな等次混合型不連続法 [math.NA, cs.NA]目的：等次混合型不連続有限要素法(HDG)の統一的な解析枠組み
- 数値解析において，複雑な形状や境界条件への対応が重要である。
- 既存のHDG法では，安定性や精度が問題となる場合がある。
- 標準，埋め込み，埋め込み混合型HDG法を包括する枠組みを確立すること。
- 本研究では，等次HDG法の統一的な解析枠組みを提示した。
- これにより，標準HDG法，埋め込み有限要素法，埋め込み混合型不連続有限要素法を統一的に扱える。
LPLSPフレームワークのためのアンサンブルパラメータ推定：過渡熱システムの低次モデル化に向けた高速アプローチ [math.NA, cs.NA]目的：過渡熱システムの低次モデル化のためのアンサンブルパラメータ推定手法
- 熱システムの設計・解析において，計算コストの削減と応答速度の向上が重要である。
- 複雑な熱システムのモデル化には膨大な計算時間が必要であり，リアルタイム解析が困難である。
- 単一の過渡データセットから高速かつ高精度な低次モデルを構築し，リアルタイム解析を可能にすること。
- 提案手法により，CFDシミュレーションと同等の精度（平均温度予測誤差5%以内）の低次モデルを構築できる。
- モデル開発時間はO(10^0 s)-O(10^1 s)と大幅に短縮され，迅速な熱解析が可能となる。
- 構築された低次モデルは，新しい過渡運転条件をO(10^0 s)で評価でき，デジタルツインの自動生成に貢献する。
下位次空間に直交する多項式に対する逆トレース不等式の定数について [cs.SI, cs.CY, cs.IR, math.NA, cs.NA]目的：多項式に対する逆トレース不等式の鋭い定数
- 数値解析において，誤差評価や近似精度を保証する上で重要である。
- 既存の研究では，定数の評価が不十分であり，誤差評価の精度が低い場合がある。
- d次元単体上の多項式空間における，より正確な逆トレース不等式を導出すること。
- 下位次空間に直交する多項式に対する逆トレース不等式の鋭い定数を導出した。
- 証明には，参照単体上の直交多項式展開と，面質量行列の関連ブロックの固有値解析を用いた。
- これらの結果は，ハイブリッドGalerkin法などのhp解析において有用である。
接点エネルギーによる正則化を用いた逆障害物散乱 [math.NA, cs.GR, cs.NA, math.DG]目的：三次元空間における逆散乱問題の解法
- 障害物検出は，医療診断や非破壊検査など，幅広い分野で重要である。
- 逆散乱問題は，解が一意に定まらない不適切問題であることが多い。
- 正則化手法を用いて，解の安定化と高精度な再構成を目指す。
- 接点エネルギーをTikhonov正則化項として導入することで，問題の適切な設定を実現した。
- 正則化された問題の解の一意性と，ノイズレベル減少に伴う解の収束性を示した。
- 反復正則化Gauss-Newton法に基づく再構成アルゴリズムの有効性を数値実験で確認した。
パラメトリック偏微分方程式に対する幾何学的知識を活用したニューラル前処理器による反復解法 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：パラメトリック偏微分方程式の反復解法の収束性向上
- 複雑な物理現象のシミュレーションに不可欠であり，計算コスト削減が重要である。
- 従来の反復解法は，形状や離散化に強く依存し，汎用性に欠ける。
- 形状に依存しない，ロバストで効率的な反復解法を開発すること。
- 提案手法Geo-DeepONetは，任意の非構造化メッシュで正確な演算子学習を可能にした。
- Geo-DeepONetと伝統的な手法を組み合わせたハイブリッド前処理付き反復解法を開発した。
- 多様な形状のドメインにおける数値実験で，提案手法の堅牢性と効率性を検証した。
高次元ハミルトン系シミュレーションにおけるシンプレクティシティの診断 [quant-ph, cs.DC, physics.plasm-ph, cs.NA, math.NA]目的：ハミルトン系数値積分におけるシンプレクティシティの保存状況の監視指標
- 物理現象のシミュレーションにおいて，エネルギー保存則等の物理量の保存は重要である。
- 数値計算では，離散化誤差により物理量の保存が損なわれる場合がある。
- PIC法におけるシンプレクティシティの保持条件を明らかにし，より高精度なシミュレーションを可能とする。
- シンプレクティシティの評価には，Liouville 1形式の積分を用いることで，スペクトル収束性のある指標が得られる。
- 線形補間を用いたPIC法は，シンプレクティシティを保たないことが判明した。
- シンプレクティシティを保つためには，少なくとも二次補間が必要であることが示された。
半古典領域におけるマルコフ開放量子系のシミュレーションのための凍結ガウスサンプリングアルゴリズム [eess.SP, cs.NI, quant-ph, cs.NA, math.NA]目的：半古典領域におけるマルコフ開放量子系のシミュレーション
- 量子系のダイナミクス理解には不可欠だが，計算コストが課題となっている。
- 従来のグリッド法では，高い分解能が必要となり，計算量が膨大になる。
- 半古典極限における計算コストの問題を克服し，長時間のシミュレーションを可能にする。
- 凍結ガウスサンプリング(FGS)アルゴリズムは，半古典パラメータに依存しないサンプリング誤差を実現した。
- メッシュフリーであるため，グリッド法に見られる境界不安定性を排除できる。
- FGSアルゴリズムを用いて，非調和ポテンシャルにおける定常状態の存在を示す数値的証拠が得られた。
パラメトリック複合最適化における健全性の完全な特性付け [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：摂動複合最適化問題に関連するKarush-Kuhn-Tucker (KKT) システムの健全性の完全な特性付け
- 最適化問題は，工学，経済学，機械学習など，広範な分野で不可欠であり，効率的な解法が求められている。
- 複合最適化問題におけるKKTシステムの健全性は保証されにくく，数値解法の安定性や収束性に影響を及ぼす。
- 本研究は，複合最適化問題のKKTシステムの健全性に関する統一的かつ厳密なフレームワークを提示し，解の安定性と感度を分析することを目指す。
- 複合モデルの放物線正則性の性質を活用し，コスト関数の二階部分微分が，その後の分析において重要な役割を果たす新しい二階変分関数に帰着することを示した。
- 本研究で導入した二階十分条件（SSOSC）が，非線形計画法における古典的な二階十分条件を自然に拡張することを示した。
- 二階資格条件（SOQC）のいくつかの同値な特性付けを得て，$\mathcal{C}^{2}$-コーン可約性の仮定の下で，制約の非退化条件との同値性を強調した。
外挿を用いた事前条件付き2次凸分割アルゴリズム [eess.SP, cs.RO, math.OC, cs.NA, math.NA]目的：非凸最適化問題に対するアルゴリズムの開発
- 機械学習やデータ科学において，非凸最適化問題は広く存在する重要な課題である。
- 既存手法では，非凸問題の効率的な解決や計算コストの抑制が課題となっていた。
- 本研究は，効率的かつ計算コストの低い非凸問題解決を目指す。
- 提案手法は，2次BDF法と外挿法を組み合わせ，事前条件化によりサブ問題を簡略化する。
- 理論的解析により，Kurdyka-\L ojasiewicz性質に基づいたアルゴリズムのグローバル収束が示された。
- 数値実験の結果，提案手法は効率的であり，解法時間短縮と競争力のある性能を達成した。
超臨界方程式のグローバル解曲線の計算と解析 [math.AP, cs.NA, math.NA]目的：超臨界方程式のグローバル解曲線に関する解析
- 非線形偏微分方程式は，物理現象の多様なモデル化に不可欠であり，その解の性質を理解することは重要である。
- 超臨界方程式は解の存在域が限定的であり，数値計算による解析が困難である。
- 特異解の性質を明らかにし，Mathematicaを用いて解曲線を追跡することで，この困難を克服することを試みる。
- Lin-Ni方程式が特別な役割を果たすことが示され，基底状態解によって分離される無限個の解曲線の性質が研究された。
- 特異解の研究を通じて，数値計算上の困難を克服する新しい結果が得られた。
- 解曲線は，u(0)の値が大きくなると方向を転換する特性が確認された。
不均質多孔質流れにおける前方および逆問題のための自己適応物理情報ニューラルネットワーク [physics.flu-dyn, cs.NA, math.NA]目的：不均質多孔質流れにおける前方および逆問題の解決
- 多孔質媒体中の流れは，エネルギー，水資源，環境保護において重要な役割を担う。
- 従来の数値シミュレーションは，計算コストが高く，逆問題解決が困難である。
- 物理情報ニューラルネットワークを用いて，効率的かつ高精度な前方/逆問題解決を目指す。
- 開発した自己適応PINNは，不連続な浸透率分布を持つ多孔質媒体におけるDarcy流れを正確に予測する。
- 間欠的な流れの観測データから，空間的に変動する浸透率を直接的に推定することが可能である。
- 自己学習型の損失重みと最適化戦略により，安定した学習と収束速度の向上が確認された。
非相対論的極限における非線形クライン-ゴルドン方程式に対する高精度かつ長時間の保存性を持つ二重尺度積分法 [math.OC, cs.SY, eess.SY, math.NA, cs.NA]目的：非相対論的クライン-ゴルドン方程式の数値解法
- 高エネルギー物理学における素粒子や場の量子論の基礎方程式であり，その数値計算は重要である。
- 光速が非常に大きい場合，時間発展における振動が激しく，数値計算が困難となる。
- 二重尺度積分法を用いて，数値計算の負担を軽減し，高精度で長時間の保存性を持つ解法を提案する。
- 本研究では，システムの再構成，フーリエ擬スペクトル法，指数積分法に基づいて構築された二重尺度積分法を提案した。
- 提案された積分法の時間方向の精度は，それぞれ3次および4次で一様であることが厳密に証明された。
- 多段階積分法に対する，長時間の近似的なエネルギー保存則が変調されたフーリエ展開を用いて確立された。
指数的に集積した極点を持つ分岐特異点に対する，稲妻法と多項式近似の厳密な収束速度 [math.NA, cs.NA]目的：コーナー型特異点問題に対する，稲妻法を用いた根指数収束の厳密な解析
- 特異点問題は，数値解析において重要な課題であり，高精度な近似手法が求められている。
- 従来の近似法では，特異点の近傍における収束速度が遅い，または解析が困難な場合がある。
- 指数的に集積した極点を持つ分岐特異点に対する，稲妻法と多項式近似の収束速度を厳密に評価する。
- 稲妻法と多項式近似の組み合わせにより，根指数収束が理論的に確立された。
- 集積パラメータの最適な選択により，最も速い収束速度が確認された。
- レマン・ワソウのコーナー特異点解析とゴパール・トレフェテンの領域分解法を組み合わせ，コーナー領域における最適パラメータ決定に成功した。
常微分方程式の数値解法のためのオペレーター分割法 [math.NA, cs.NA, math.DS]目的：非線形流れによって誘導される線形半群のkoopman生成子の近似
- 複雑なダイナミクス解析において，モデルの線形化は重要なアプローチである。
- 高次元の非線形システムでは，正確な数値解法が困難となる場合が多い。
- オペレーター分割法を用いて，高次元システムの効率的な数値解法を確立すること。
- Lie-Koopmanオペレーターによって生成されるkoopman半群を解析し，有限の分解を用いた分割法を構築した。
- Lie-Trotter，Strangなどの構成法に対して，明示的な誤差境界を導出した。
- Lotka-Volterra，Van der Pol，Lorenzシステムに対する数値実験により，理論の妥当性と効率性が確認された。
時空間領域における異方近似 [math.NA, cs.NA]目的：時空間上の関数の異方性（区分的）多項式近似
- 数値解析において，関数の近似は計算効率と精度の両立に不可欠である。
- 複雑な形状や時間変化を持つ時空間領域における高精度な近似は課題である。
- 不規則な時空間領域に対する適応的有限要素法の理論的根拠を与える。
- Lipschitzシリンダー上で，Jackson型およびWhitney型の不等式が導かれた。
- これにより，不連続Galerkin法を用いた時空間有限要素近似の直接誤差評価が確立された。
- 本研究は，動的な問題を扱う数値シミュレーションの精度向上に貢献する。
拡張領域スペクトル法の漸近前安定性と逆構造について [math.NA, cs.NA]目的：拡張領域スペクトル法の漸近前挙動の厳密な解析
- 複雑な形状へのスペクトル法の適用は重要であり，数値シミュレーションの精度向上に貢献する。
- 拡張領域法のフーリエ拡張フレームの悪条件化が安定性の問題を複雑にしている。
- 離散グリーン関数の構造的二分性を示すことで，安定性の機構を解明する。
- ポアソン作用素と対流拡散作用素の両方において，スペクトル配置法系は漸近的に悪条件化されることが確認された。
- 対流拡散作用素の逆行列は準疎であり，ポアソン作用素の逆行列とは対照的に指数関数的なオフ対角成分減衰を示す。
- この固有の疎性が，実際の計算における対流拡散作用素のフレーム不安定性に対する堅牢性を説明する。
可逆マルコフ連鎖における構造保存摂動によるケメニー定数の最小化 [math.NA, cs.NA, math.PR]目的：可逆マルコフ連鎖のケメニー定数最小化
- マルコフ連鎖は，様々な確率過程をモデル化する上で重要な役割を果たす。
- ケメニー定数の最小化は難しい問題であり，実現可能な摂動を見つけるのが課題である。
- 疎性の制約下でケメニー定数を最小化する効率的なアルゴリズムを開発すること。
- 構造保存摂動により，マルコフ連鎖の連結性を改善しつつ，定常分布を維持することが可能である。
- ケメニー定数の最小化問題を最適化問題として定式化し，解の存在と効率的なアルゴリズムに焦点を当てた。
- 疎性制約下でのケメニー定数最小化問題に対するアプローチを提示した。
渦線追跡による磁気ギンツブルク・ランダウ方程式のシミュレーション [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：磁気時間依存ギンツブルク・ランダウ方程式の数値シミュレーション
- 超伝導現象の理論的基礎であり，物性解明やデバイス応用において重要である。
- 小さな逆ギンツブルク・ランダウパラメータにおける数値シミュレーションは，計算コストが高い。
- パラメータが小さい場合の効率的な数値シミュレーション手法を開発し，渦の結晶化過程を捉える。
- 提案手法は，極限ODEシステムと有限次元ODEシステムを組み合わせることで，$\epsilon$-スケールを分解せずにTDGL方程式をシミュレーション可能にする。
- この手法は，従来の細かいメッシュや時間ステップを必要とせず，計算コストを削減する。
- 混合流の場合において，長時間の経過に伴う渦の安定パターンへの配置（結晶化過程）をODEシステムで捉えることが示された。
多様体上の二段階一般化RBF生成有限差分法 [math.NA, cs.NA]目的：多様体上での偏微分方程式の解法
- 科学計算において，不規則にサンプリングされた点群で定義された多様体上でのPDEの求解は重要な課題である。
- 点群データから多様体を定義し，安定かつ高精度にPDEを解くことが難しい。
- 局所的な座標系と補間戦略を用いて，安定性を高め誤差を低減する解法を開発する。
- 本研究では，PHS+PolyカーネルとGMLS回帰，PHS補間を組み合わせた二段階gRBF-FD法を提案する。
- 提案手法は，標準RBF-FDと同等の補間形式を持ちながら，補間係数に違いがある。
- 点群の局所的な直径とデータ数に関する誤差評価を行い，数値実験を通して高い精度を実証した。
ミニマックス近似を用いたBoys関数の効率的な評価 [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：Boys関数の効率的評価手法
- 電子構造計算において，Boys関数は重要な役割を担う。高速な評価は計算効率向上に不可欠である。
- 従来の評価法は，テーブル参照や不規則なメモリアクセスが必要で，GPUのような並列処理環境でボトルネックとなる。
- GPUアーキテクチャに適した，高速かつ効率的なBoys関数評価手法を開発すること。
- 本研究では，ミニマックス近似と漸化式を組み合わせたアルゴリズムを提案し，Boys関数の効率的な評価を実現した。
- 評価領域を分割し，それぞれに最適な近似手法を用いることで，テーブル参照や不規則なメモリアクセスを回避した。
- 目標精度εtol = 5×10⁻¹⁴において，F₀からF₃₂までのBoys関数に対する近似領域と係数を決定した。
KD-PINN：知識蒸留を用いた超低遅延リアルタイム偏微分方程式ソルバー [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：知識蒸留によるPINNの高速化と精度維持
- 偏微分方程式の数値解法は，科学技術計算の根幹であり，高精度かつ高速な解法が求められている。
- 従来のPINNは計算コストが高く，リアルタイム処理には不向きな場合がある。
- 知識蒸留によりPINNの軽量化と高速化を図り，リアルタイム処理への応用を可能とすること。
- 本研究では，知識蒸留フレームワークKD-PINNを提案し，教師モデルの予測精度を軽量な学生モデルへ転移させた。
- KD-PINNは，Navier-Stokes方程式で約4.8倍，Burgers方程式で約6.9倍の推論速度向上を達成しつつ，精度を維持した。
- CPU上での平均推論遅延は5.3msであり，10ms以下の超低遅延リアルタイム領域への進出を示した。
部分拡散モデルの最適制御：ディリクレ・ノイマンおよびノイマン・ノイマン波形緩和アルゴリズム [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：部分拡散偏微分方程式制約を持つ最適制御問題における波形緩和アルゴリズムの収束性
- 最適制御は，工学，経済学など広範な分野で重要な役割を担っている。
- 部分拡散方程式の数値解法は計算コストが高く，効率的な解法が求められている。
- 波形緩和アルゴリズムを用いて，部分拡散モデルの最適制御問題を効率的に解くこと。
- ディリクレ・ノイマンおよびノイマン・ノイマン波形緩和アルゴリズムの収束性が，1次元領域で検証された。
- 一般化拡散係数の定数値が，アルゴリズムの収束性に影響を与えることが示された。
- 提案手法は，部分拡散モデルの最適制御問題の効率的な解法を提供する可能性が示唆された。
双曲型方程式における点ごとの統計量の発展 [math.AP, cs.NA, math.NA]目的：ランダムデータを持つ双曲型偏微分方程式における点ごとの統計量
- 確率的な現象の予測において，確率分布の理解は不可欠である。不確実性を含む物理現象のモデリングに重要。
- 確率的初期データを持つ方程式の解の統計的性質を直接計算するには，多数の解が必要であり，計算コストが高い。
- 統計量の発展方程式を導き，効率的な確率的ダイナミクスの評価とモンテカルロ法の誤差評価を可能にすること。
- 線形双曲型方程式では，統計量の確率密度関数が同じ線形偏微分方程式に従うことが示された。
- 非線形双曲型方程式に対しては，累積分布関数と確率密度関数のための線形輸送方程式と非局所線形偏微分方程式が導出された。
- 得られた統計量の発展方程式は，アンサンブル計算を必要とせず，モンテカルロ法のエラー評価にも利用可能である。
勾配降下法は単純な直線探索法を用いても厳密な鞍点を回避する [math.OC, cs.NA, math.DS, math.NA]目的：厳密な鞍点回避の保証
- 機械学習において，最適化は重要な課題であり，効率的な手法が求められている。
- 勾配降下法は広く用いられているが，直線探索法を用いた場合に鞍点を回避できるかの保証がなかった。
- 直線探索法を用いた勾配降下法における鞍点回避の理論的保証を与える。
- 本研究により，修正されたアルミホ後退法を用いた勾配降下法が，任意の初期ステップサイズで厳密な鞍点を回避することが示された。
- 証明では，Luzinの$N^{-1}$性質の二重的な役割が強調されており，リプシッツ勾配の仮定を回避している。
- この結果は，実解析的な退縮写を仮定するリーマン多様体上での勾配降下法にも拡張され，定数ステップサイズに関する保証も改善された。
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