arXiv雑要約

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数値解析 - 2025/12/16 公開

• Mathieu方程式の密度状態の離散から連続への収束 [cs.DC, math.NA, cs.NA, math-ph, math.AP, math.MP, math.SP]目的：密度状態の収束

  • 量子力学において，スペクトル解析は物理現象の理解に不可欠である。
  • 周期ポテンシャルを持つ系の密度状態を厳密に求めることは困難である。
  • タイトバインディングモデルにおける密度状態の連続近似への収束を明らかにする。
  • タイトバインディングモデルとMathieu方程式の密度状態が収束することを示した。
  • ゆっくりと変化する周期ポテンシャル下での密度状態の近似の妥当性が確認された。
  • この結果は，固体物理学における計算手法の精度向上に貢献する。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12039

• ストークス問題に対する適合しない発散のない高次有限要素法 [math.NA, cs.NA]目的：非適合高次有限要素法の開発と解析

  • 流体シミュレーションにおいて，精度と安定性の両立は重要な課題である。
  • 複雑な形状に対する有限要素法では，メッシュの適合性が問題となる場合がある。
  • 非適合メッシュにおいても，安定かつ高精度な解を得る手法を確立すること。
  • 本研究では，物理境界において強く発散のない速度場が得られる高次有限要素法を提案した。
  • 提案法は，背景メッシュ上のアイソパラメトリックScott-Vogelius要素と，Nitsche/Lagrange乗数を用いた境界条件の実装を組み合わせている。
  • 二次元における完全な安定性と収束理論を確立し，数値実験によって理論的結果を検証した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12050

• ビームネットワークモデルの数値シミュレーション [math.NA, cs.NA]目的：ビームネットワークモデルの効率的な数値解法

  • 複雑な構造を持つ材料の力学特性解析において，計算コストを削減する手段として重要。
  • ３次元解析に比べ計算効率が良い一方，ネットワーク構造に依存した精度低下の懸念がある。
  • ネットワーク接続性や異質性を考慮したドメイン分解法による効率的な解法を確立する。
  • 静止問題に対する２段階加算ドメイン分解法を提案し，収束性を厳密に解析した。
  • ドメイン分解法の収束速度がネットワークの接続性と異質性に依存することを示した。
  • 提案手法を商業用紙板の力学特性シミュレーションに適用し，効率と安定性を実証した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12062

• 真近点角で一様かつ運動量保存則を全て正確に保存する3次元ケプラー問題の陽解法 [math.NA, cs.NA, math-ph, math.DS, math.MP]目的：ケプラー問題における軌道計算の数値解法

  • 宇宙空間における天体運動の正確な予測は，探査機の軌道設計等に不可欠である。
  • 従来の数値解法では，長期間の計算において軌道の形状や姿勢がずれる問題があった。
  • 全ての積分定数を正確に保存し，長期間にわたる安定性と高精度な軌道計算を実現すること。
  • 本手法は，角運動量，全エネルギー，ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルを正確に保存する。
  • これにより，軌道は正確な形状と姿勢を維持し，通常の数値解法で見られる不必要な歳差運動を回避できる。
  • 解析的考察と数値実験により，本アルゴリズムが高精度と長期安定性を兼ね備えていることが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12099

• SiLUネットワークの近似能力：指数的レートと深さ効率 [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：滑らかな関数の指数的近似レート

  • 機械学習モデルの性能向上は，近似能力の理論的理解に依存する。
  • ReLUベースのネットワークでは，近似に必要な深さが課題となっていた。
  • SiLUネットワークの近似能力を理論的に示し，効率的な近似手法を確立する。
  • SiLUネットワークは，ReLUネットワークと比較して指数的に高速な近似レートを実現する。
  • 本研究では，深さおよびサイズがコンパクトな二乗関数近似の新たな構築法を開発した。
  • 深さ$\mathcal{O}(1)$，サイズ$\mathcal{O}(\varepsilon^{-d/n})$で，Sobolev級関数を高精度に近似できることが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12132

• 長方形メッシュ上の$C^1$-$Q_k$ セレンディピティ有限要素 [math.NA, cs.NA]目的：C^1-$Q_k$ セレンディピティ有限要素の定義と性質

  • 有限要素法は，工学における様々な現象を数値的に解析するための強力な手法である。
  • 高次要素の設計は，精度向上に重要だが，計算コストも増加する。
  • 計算効率を維持しつつ，高精度な要素を開発することが本研究の目的である。
  • 新しい$C^1$-$Q_k$ セレンディピティ要素のユニソルブンスと準最適性が証明された。
  • 要素の次数$k$が$4$から$8$までの数値実験が行われた。
  • $P_4$および$P_5$空間はそれぞれ9個および11個の$Q_k$バブル関数で強化された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12144

• 長方形要素における$C^1$-$P_k$有限要素と$Q_k$-バブル強化 [math.NA, cs.NA]目的：長方形メッシュ上の$C^1$-$P_k$ ($k\ge 4$)有限要素族の構築

  • 構造解析において，高精度な曲げ挙動の予測が重要である。
  • 既存の有限要素法では，曲げモードの正確な表現が難しい場合がある。
  • 高次バブル関数による強化により，曲げモードの精度向上を目指す。
  • 本研究で提案する要素は，ユニソルベンシー，C$^1$-連続性，準最適な収束性を持つことが示された。
  • k=4,5,6,7,8に対し，新しい$C^1$-$P_k$要素の数値検証を行った結果，良好な性能が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12152

• 積分型分数ラプラシアンに対する局所不連続Galerkin法 [math.NA, cs.NA]目的：積分型分数ラプラシアン問題の解法

  • 非局所作用素を含む偏微分方程式の数値解法は，物理現象のモデリングにおいて重要である。
  • 分数ラプラシアンを含む問題の解は滑らかでないため，高精度な数値解法が難しい。
  • 分数ラプラシアンを含む問題に対する，高精度で安定な数値解法を開発する。
  • 本研究では，積分型分数ラプラシアン問題に対して，局所不連続Galerkin(LDG)法を提案し，その理論的性質を明らかにした。
  • Rieszポテンシャルの重み付きHolderおよびSobolev正則性の厳密な研究により，境界特異点の正確な表現を可能にした。
  • 準一様メッシュおよび傾斜メッシュに対するLDGスキームを提案し，傾斜メッシュの場合には安定化項を加えることで，理論と数値実験によりその有効性を確認した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12200

• 周期構造における波散乱の境界積分方程式法：フロケ・ブロッホ変換による [math.NA, cs.NA, math-ph, math.MP]目的：周期構造中の音波散乱問題の数値解法

  • 周期構造は，フォトニック結晶やメタマテリアルなど，様々な工学的応用において重要な役割を担う。
  • 周期構造における散乱問題は，計算コストが高く，高精度な数値解法が求められている。
  • 非準周期的な散乱問題に対して，効率的かつ高精度な数値解法を開発し，計算コストを削減すること。
  • 背景周期構造のグリーン関数をフロケ・ブロッホ変換を用いて効率的に計算するアルゴリズムを開発した。
  • 境界積分方程式に基づく透明境界条件を高精度に離散化する数値積分則を新たに開発した。
  • 提案手法は，非準周期問題において，準周期問題と同程度の計算時間で済むことが数値実験により示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12414

• 確率的SVDによる階層粗基底：ヘルムホルツ問題 [cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：ヘルムホルツ問題に対する新たなSchwarz法とその粗解法の開発

  • 波動現象の解析において，高精度な解を得るためには十分な自由度が必要不可欠である。
  • Schwarz法における粗解法のサイズが大きくなり，計算コストが増大する課題がある。
  • 確率的SVDと階層的ドメイン分解により，粗解法のサイズを削減し，効率的な解法を確立する。
  • 確率的SVDを用いることで，界面反復の計算コストを削減し，粗解法の構築を効率化できる。
  • 階層的ドメイン分解により，粗解法を階層構造化し，各レベルでの独立した求解が可能となる。
  • 提案手法は，ヘルムホルツ問題に対するSchwarz法の効率を向上させ，大規模な計算を可能にする。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12538

• ハイブリッド正則性を持つソボレフ空間におけるカーネル補間 [math.NA, cs.NA]目的：ハイブリッド正則性を持つソボレフ空間におけるカーネル補間の複雑性

  • 機械学習等において高次元データの効率的な処理が課題であり，次元の呪いの克服が重要である。
  • カーネル補間においては，次元数が増加するにつれて計算コストが増大する次元の呪いが生じやすい。
  • ハイブリッド正則性を持つソボレフ空間を用いることで，次元の呪いを回避し，効率的なカーネル補間を実現すること。
  • 最適化された疎グリッドを用いることで，カーネル補間誤差の評価において対数項を回避できることが示された。
  • その結果，ハイブリッド正則性を持つソボレフ空間においては，カーネル補間の複雑性は次元の呪いに悩まされない。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12684

• 確率関数の理論に基づく機械学習回帰問題の解決 [cs.CL, cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：機械学習回帰問題における多元近似

  • 機械学習は，データから知識を獲得する上で不可欠な技術であり，様々な分野で活用が広がっている。
  • 既存の回帰手法は，経験的な手法に依存し，理論的な根拠に乏しい場合がある。
  • 無関心原理に基づき，理論的に最適性を保証する回帰手法を確立すること。
  • 確率測度が自然な対称性を持つ場合，カーネルの形式，正則化，ノイズパラメータ化が解析的に導出される。
  • 導出されたカーネルは一般化された多重調和スプラインと一致するが，経験的に選択されるのではなく，無関心原理の結果として生じる。
  • 本研究は，広範な平滑化および補間法に対する理論的基盤を提供し，事前情報がない場合の最適性を示す。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12731

• 平均場ゲームに対するニュートン法：数値的研究 [math.NA, cs.NA, math.AP]目的：平均場ゲーム問題の数値解法

  • 経済学や社会科学において，多数の相互作用する主体間の均衡を分析する上で重要である。
  • 高次元空間での計算が困難であり，効率的な数値解法が求められている。
  • 無限次元におけるニュートン法の理論的枠組みに基づき，実用的な数値解法を開発すること。
  • 無限次元反復を計算可能にする，有限差分法と半ラグランジュ法という新たな数値離散化手法を開発した。
  • 複数のベンチマーク問題に対する数値実験の結果，提案手法の堅牢性，精度，効率性が確認された。
  • 既存手法との比較分析により，平均場ゲームシステムに対するニュートン法に基づくソルバーの可能性を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12752

• 迷路状構造の高速容量計算 [math.NA, cs.NA]目的：迷路状構造のコンフォーマル容量の計算

  • 複素関数論や流体力学など，様々な分野で容量の概念が重要である。
  • 厳密解が限られた場合に，容量を評価する手法が求められている。
  • 迷路状構造の容量を効率的に計算し，既存の評価手法との比較を行う。
  • 迷路状構造の容量は，高次のhp有限要素法によって計算された。
  • 計算結果と準双曲長，周長による評価値を比較した結果，両者は整合性が見られた。
  • 準双曲長による評価は，特定の条件下で漸近的性質と計算効率に優れることが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12836

• PODおよびSPOD重みの和の鋭い収束境界 [math.NA, cs.NA]目的：PODおよびSPOD重みの和の収束性

  • データ解析や数値計算において，高次元データの次元削減は重要な課題である。
  • 従来の次元削減手法では，収束速度の評価が難しく，計算コストが高い場合がある。
  • POD/SPOD重み和の収束条件を厳密に導出し，計算効率を向上させる。
  • 非負数列に対し，ある条件を満たす場合に和が有限となることを証明した。
  • 重み係数が特定の形で与えられた場合，log Sγ(m) の漸近的なオーダーを導出した。
  • 結果をSPOD重みにも一般化し，より広範な応用可能性を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13068

• HIVダイナミクスの数理モデルとシミュレーション [math.NA, cs.NA]目的：HIV感染症の宿主内動態

  • HIV感染症は世界的な健康問題であり，感染のメカニズム理解が重要である。
  • 既存モデルでは治療効果の複雑な影響を捉えきれていない場合がある。
  • 治療戦略の最適化に向け，数理モデルによる詳細な解析を目指す。
  • 数理モデルを用いて，健康なCD4陽性T細胞，感染細胞，遊離ウイルスの動態を解析した。
  • 抗レトロウイルス療法における，逆転写酵素阻害剤とプロテアーゼ阻害剤の効果を検討した。
  • 治療強度とタイミングが，一時的な振る舞いと持続的なウイルス抑制に影響することが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13171

• ハミルトンモンテカルロ法のq類似 [math.NA, cs.NA, math.ST, stat.TH]目的：q類似ハミルトンモンテカルロサンプラーの開発

  • 物理学や統計力学において，複雑な系の解析は重要な課題である。
  • 従来のモンテカルロ法では，エネルギー障壁の高い分布のサンプリングが困難である。
  • エネルギー障壁の高い分布に対する効率的なサンプリング手法を提供すること。
  • q類似ハミルトンモンテカルロ法は詳細均衡を満たすことが示された。
  • 実験の結果，硬いエネルギー地形を持つ分布の探索において有効であることが確認された。
  • 逆問題のベイズ事後分布からのサンプリングにも応用可能であり，機能再構成問題ではHMCと同等の実装となる。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13246

• KD-PINN: 知識蒸留を用いた超低遅延リアルタイム偏微分方程式ソルバー [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：知識蒸留による物理情報ニューラルネットワークの高速化

  • 偏微分方程式は自然科学や工学の様々な分野で現象を記述する基盤技術である。
  • 従来の数値解法は計算コストが高く，リアルタイム処理が困難な場合がある。
  • 知識蒸留によりPINNの推論速度を向上させ，リアルタイム処理を実現する。
  • 提案手法KD-PINNは，教師モデルの予測精度を維持しつつ，推論速度を最大6.9倍に向上させた。
  • 知識蒸留プロセスは正則化効果を示し，モデルの汎化性能向上に貢献する。
  • CPU上での平均推論遅延は5.3msであり，サブ10msのリアルタイム性能を実現した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13336

• DP-EMAR：連合IoTシステムにおける自律的なモデル重みの修復のための差分プライバシーフレームワーク [cs.LG, cs.NA, math.NA]目的：連合学習におけるモデル重みの歪み検知と復元

  • IoTデバイスの普及により，分散型学習の重要性が増している。データの集中管理を避け，プライバシーを保護するため。
  • 通信環境の不安定さや悪意のある干渉により，モデルの収束が阻害される可能性がある。
  • 通信による歪みを検出し，差分プライバシーを損なわずに信頼性の高い修復を目指す。
  • DP-EMARは，エラーモデルに基づき，通信経由で発生する歪みを検出し，自動的に修復する。
  • 差分プライバシーとセキュアアグリゲーションを組み合わせることで，DPノイズと実際の伝送エラーを区別する。
  • 異種IoTセンサーデータを用いた実験により，通信の歪み下でも収束の安定性とベースライン性能を維持することが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13460

• 低ランクテンソルの同質幾何学 [math.NA, cs.NA]目的：低ランクテンソル集合の滑らかさと同質多様体構造

  • テンソル分解は，高次元データの効率的な処理に不可欠であり，機械学習等の分野で活用が広がっている。
  • CPやTTランクのようなテンソルランクが一定の場合に，多様体構造がどのように成立するか不明確である。
  • 低ランクテンソル集合が滑らかな同質多様体となる条件を導出し，幾何学的構造を与えることを目指す。
  • CPランクとTTランクに関して，ランクが十分に低い場合に条件が成立することが示された。
  • 得られた同質構造を用いて，完全かつ計算効率の良い測地線を持つリーマン計量を導出した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13594

• GPUアーキテクチャにおけるハイブリダイザブル非連続ガレルキン離散化のための前処理手法 [math.NA, cs.CE, cs.NA]目的：偏微分方程式のハイブリダイザブル非連続ガレルキン（HDG）離散化のためのスケーラブルな反復解法および前処理戦略

  • 科学技術計算において，大規模な問題を効率的に解くことは重要であり，GPUは並列計算に適している
  • HDG法は計算コストが高く，特に大規模問題では効率的な解法が求められている
  • GPUアーキテクチャ上でHDG法の計算効率を向上させるための前処理手法を開発すること
  • GPUに最適化されたアルゴリズムとブロック形式での行列格納により，疎行列構造を回避し，算術演算強度を高めた
  • ブロックヤコビ，加法性シュワルツ領域分解，多項式平滑化などのスケーラブルな前処理器を実装し，アーキテクチャを意識した最適化を施した
  • Poisson方程式，Burgers方程式など多様な偏微分方程式に対し，NVIDIAおよびAMD GPUアーキテクチャ上で有効性を示した

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13619

• 準周期問題に対するトーラス時間スペクトル法 [math.NA, cs.NA, math.DS]目的：準周期問題に対するスペクトル収束性

  • 非線形力学において，複数の非可換な周波数を持つ準周期軌道は普遍的に存在する。
  • 古典的なフーリエに基づく時間スペクトル法は，厳密な周期応答に限定されるという課題がある。
  • トーラス時間スペクトル法により，準周期問題のスペクトル収束性を実現し，計算効率の良い解析手法を提供する。
  • 本手法は，トーラス上のスペクトル収束性に関して厳密な数学的証明と数値検証を提供する。
  • Duffing振動子や非線形Klein-Gordon系への適用により，トーラス上のスペクトル誤差の減衰と時間積分との高い一致性が確認された。
  • 本手法は，流体力学，プラズマ物理学，天体力学など，多周波力学が重要となる分野への応用が期待される。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.13631

• 混合ディリクレ・ノイマン境界条件に対するニューラル事前条件子付きポアソンソルバー [math.NA, cs.GR, cs.LG, cs.NA]目的：混合境界条件を持つポアソン方程式の求解

  • ポアソン方程式は，物理シミュレーションなど広範な分野で基礎となる計算である。
  • ポアソン方程式の離散化は，大規模で条件数の悪い線形システムを生み出しやすい。
  • 変化する形状や境界条件に対して，効率的な事前条件付け手法が求められている。
  • 提案手法は，形状や境界条件の変化に強いニューラルネットワークに基づく事前条件子を用いる。
  • この事前条件子は，従来の多重グリッド法よりも高速かつ汎用的に求解できることを示した。
  • 非圧縮流体シミュレーションにおける困難なテストケースで，最先端手法を上回る性能を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2310.00177

• 不規則なスタンレー数列の成長率に関する考察 [math.NT, cs.NA, math.NA]目的：不規則なスタンレー数列の成長率の検証

  • 組合せ数学において，数列の成長率は重要な研究対象である。
  • 不規則なスタンレー数列の成長率の解析は，未解決問題として残されている。
  • n=4における成長率の推測に対し，数値的根拠に基づいて反証を試みる。
  • n=4に対する数列の成長率は，$O(n^2/\log n)$ を上限とするが，下限は $\Omega(n^{2-\delta})$ となる可能性が高い。
  • 数列が完全にランダムではないことが，この結果の一因と考えられる。
  • 数値計算法の限界についても議論している。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.11983

• HWF-PIKAN：多解像度ハイブリッドウェーブレット-フーリエ物理情報コロンモゴロフ-アーノルドネットワークによる衝突なしボルツマン方程式の解法 [physics.comp-ph, cs.NA, math.NA]目的：衝突なしボルツマン方程式に基づくアドベクション問題の解法

  • 物理現象のシミュレーションにおいて，高精度かつ効率的な数値解法が求められている。
  • 従来の数値解法では，高次元問題や複雑な物理現象に対して計算コストが増大する。
  • 物理情報ニューラルネットワークを用いて，少ないデータで高精度な解を得ることを目指す。
  • 提案手法HWF-PIKANは，古典的なアドベクション問題において，滑らかな特徴量と急峻な特徴量を正確に捉えることが示された。
  • 高次元の相空間における衝突なしボルツマン方程式の解法にも適用可能であり，相空間力学の概念を活用することで，無衝突系の粒子統計的振る舞いをモデル化できる。
  • 従来の物理情報ネットワークと比較して，解の精度と収束速度が大幅に向上することが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12001

• 弱相互作用フェルミオンに対する累積展開の収束と多項式時間アルゴリズム [quant-ph, cs.NA, math-ph, math.MP, math.NA, physics.comp-ph]目的：弱相互作用フェルミオン系の対数分配関数の計算

  • 量子多体系問題において，フェルミオン系の計算は重要である。特に弱相互作用系は扱いやすいと考えられている。
  • 既存の計算手法は，多項式時間アルゴリズムの数学的厳密な証明を欠いているという問題がある。
  • 弱相互作用フェルミオン系の対数分配関数を，多項式時間で計算できるアルゴリズムを開発する。
  • 累積展開の収束解析を周期系から非周期系へ拡張し，接続ファインマンダイアグラムの和の解析に有用な「木行列式展開」を発見した。
  • 重要度サンプリングと信念伝播を組み合わせた新しいランダム化アルゴリズムを設計し，対数分配関数の計算を可能にした。
  • 従来のマルコフ連鎖モンテカルロ法とは異なり，本アルゴリズムは数学的に証明可能な多項式時間で動作する。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12010

• ナッシュシステムの変分二重公式化と非線形偏微分方程式に対する適応的凸勾配流アプローチ [math.AP, cs.NA, math.NA, math.OC]目的：ナッシュシステムの変分二重公式化の一貫性に関する影響

  • 偏微分方程式の解法において，効率的かつ正確な数値解法の開発が重要である。
  • ナッシュシステムのような多重プレイヤーシステムでは，二重公式化の一貫性を保つことが難しい。
  • 任意の初期状態から出発して，安定した解に収束する新しい数値解法を提案する。
  • 二重変分公式化の一貫性が，ある条件の下で長期間にわたって成立することが示された。
  • 単一プレイヤーの場合，平均してゼロに収束する一連の基準状態が存在することが証明された。
  • 任意の基準状態に対して，ナッシュシステムの変分二重解の存在が示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.12878

• 直交座標系におけるコンパクト陰解法を用いた2次元スカラー保存則の数値解 [cs.CL, cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：2次元スカラー保存則の数値解法

  • 物理現象や工学問題をシミュレーションする上で，保存則を正確に解くことは重要である。
  • 大規模な計算において，陽解法では時間ステップサイズが制限され，計算コストが増大する。
  • 時間ステップサイズを大きく取り扱い可能な陰解法を開発し，計算効率を向上させる。
  • コンパクト陰解法と有限体積法を組み合わせた2次精度スキームを提案した。
  • ENOやWENO近似の簡略化された変種を導入し，数値計算の安定性と精度を高めた。
  • 時間制限手法により，大きな時間ステップでも非発振的な解を得ることを示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2407.05275

• 自己相似集合上の高次数値積分 [math.NA, cs.NA]目的：自己相似集合上の滑らかな関数の積分計算

  • フラクタル形状の積分計算は，物理シミュレーションや画像処理など幅広い分野で重要である。
  • 自己相似集合上の数値積分は，従来の数値積分法では精度が低い場合がある。
  • 自己相似性に着目し，高精度な数値積分手法を開発し，計算効率を向上させる。
  • 自己相似性に基づいた補間型高次数値積分規則を構築した。
  • 積分重みを代数的に特徴付け，h-バージョンとp-バージョンの数値積分を提案した。
  • 誤差解析と数値実験により，提案手法の有効性を確認した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2410.00637

• 完全動的ナビエ-ストークス・ビオ結合問題に対するバナッハ空間定式化 [eess.SY, cs.SY, math.NA, cs.NA]目的：自由流体と多孔質媒体の相互作用から生じる結合問題の解の存在と一意性

  • 流体と固体の相互作用は，地盤工学，石油工学，生物医学など広範な分野で重要である。
  • ナビエ-ストークス方程式とビオ方程式の結合問題は，解法が困難であり，数値的安定性が課題となる。
  • バナッハ空間における定式化を通じて，解の存在と収束性を数学的に保証することを試みる。
  • ナビエ-ストークス方程式とダーシー方程式に双対混合定式化を適用し，弱解の存在と一意性を証明した。
  • 界面条件をラグランジュ乗数を用いて弱く課すことで，混合定式化における本質的な伝送条件を適切に扱った。
  • 非整合グリッドを用いた半離散連続時間定式化について，収束率の解析と数値実験による検証を行った。

  Link: https://arxiv.org/abs/2410.06322

• 不均一係数を持つセミリニア放物型問題に対するエッジマルチスケール有限要素法 [cs.DB, math.NA, cs.NA]目的：不均一係数を持つセミリニア放物型問題の数値解法

  • 多様な物理現象をモデル化する上で，放物型方程式の正確かつ効率的な解法が重要である。
  • 係数が不均一な場合，解像度を高くする必要があり，計算コストが増大する。
  • 不均一性に関わらず，粗いグリッドでも十分な精度を得られる効率的な解法を提案する。
  • エッジマルチスケール有限要素法に基づく新たな空間半離散マルチスケール法を開発した。
  • この方法は空間的不均一性を十分に解決できなくても，不均一性に関わらず良好な精度を維持する。
  • 粗いグリッドサイズとレベルパラメータに依存する誤差評価を導出した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2410.21150

• タグ付けによるランダムブロック低ランク行列圧縮 [math.NA, cs.NA]目的：フラットなランク構造を持つ行列の圧縮手法

  • 科学計算において，大規模行列の取り扱いは計算コストの課題となる。
  • 既存手法では，基底行列の計算効率や精度維持が困難な場合がある。
  • タグ付けにより，効率的かつ高精度な行列圧縮を実現する。
  • タグ付けは，行列と随伴行列との行列ベクトル積を利用し，効率的な圧縮を可能にする。
  • タグ付けに必要な行列ベクトル積の数は一定数に抑えられ，計算コストを削減できる。
  • 積分方程式や偏微分方程式の離散化から生じる行列への適用実験で，既存手法よりも優れた性能が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2501.05528

• 確率的勾配ランジュバン動力学のためのランダムな再シャッフル [math.NA, cs.NA, math.PR, stat.ML]目的：確率的勾配アルゴリズムにおけるランダム化戦略の検討

  • 機械学習モデルの学習において，効率的なサンプリング手法は重要である。ランジュバン動力学はその有力な選択肢の一つ。
  • 従来のランジュバン動力学の勾配推定方法にはバイアスが生じやすく，学習効率を低下させる可能性がある。
  • ランダムな再シャッフル戦略を導入することで，勾配推定のバイアスを軽減し，学習効率を向上させることを目指す。
  • ランダムな再シャッフル戦略は，Wasserstein距離に基づくバイアスを理論的に低減することが示された。
  • ガウスモデル問題において，ランダムな再シャッフル戦略によるバイアスの低減が解析的に確認された。
  • ロジスティック回帰問題における数値実験により，ランダムな再シャッフル戦略の有効性が実証された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2501.16055

• 高次テイラー・フッド離散化におけるモノリシック多重グリッドソルバーのためのパッチ選択の改善 [math.NA, cs.NA]目的：高次テイラー・フッド離散化を用いた非圧縮性流体解析における，モノリシック多重グリッド前処理器の効率向上

  • 非圧縮性流体解析は科学計算の重要な分野であり，様々な離散化手法や線形・非線形ソルバーの研究が進められている。
  • 高次スキームの利用は精度向上に繋がる一方，計算コストの増大や解法の複雑化が課題となっていた。
  • 本研究は，パッチ構成の改良により，高次テイラー・フッド離散化における多重グリッド法の効率を改善することを試みる。
  • 提案手法は，圧力自由度におけるオーバーラップを導入したVanka型緩和法によるパッチ構成の改善である。
  • 線形ストークス方程式の解析において，三角形および四角形メッシュ上で，多重グリッド反復回数および解法時間の両面で顕著な改善が確認された。
  • 非線形ナビエ・ストークス方程式の解析においても同様の改善が見られ，不完全ニュートン法における非線形反復回数の削減に貢献した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2502.01130

• 明示的ルンゲ・クッタ法に基づく高次のBUG動的低ランク積分法 [cs.CC, cs.RO, math.NA, cs.NA, math.DS]目的：大規模行列微分方程式に対する高次のBasis-Update & Galerkin (BUG)積分法の開発

  • 大規模行列微分方程式の計算コストは高い。低ランク近似手法は計算量を削減し，効率的な解法を提供する。
  • 既存の低ランク積分法は，精度や安定性の面で課題があり，特に高次の精度を達成することが困難である。
  • 明示的ルンゲ・クッタ法にBUG法を組み込むことで，高次の精度，安定性，そして計算効率を両立させる。
  • 提案手法であるRK-BUG積分法は，基礎となるルンゲ・クッタ法の収束次数を，低ランク切捨て誤差が飽和するまで維持する。
  • 数値実験の結果，RK-BUG積分法は高次の収束性を示し，既存の動的低ランク積分法と比較して，優れた精度を達成した。
  • RK-BUG積分法は，小さな特異値に対してロバストであり，時間進行が可能で，保存則とランク適応性を備えている。

  Link: https://arxiv.org/abs/2502.07040

• 相対論的流体力学における制約を保存するラックス・ヴェンドロフフラックス再構成法 [math.NA, cs.NA, gr-qc]目的：相対論的流体力学方程式の数値解法

  • 相対論的宇宙物理学において，流体現象の解析は重要であり，高精度な数値解法が求められる。
  • 定数ガンマ値の理想状態方程式は簡便だが，相対論的運動論との整合性に欠ける点が課題である。
  • 一般的な状態方程式に対応可能な高精度なラックス・ヴェンドロフフラックス再構成法を開発し，その妥当性を検証する。
  • 本研究では，カルテシアン座標系上で，様々な状態方程式を用いた相対論的流体力学方程式を解くためのラックス・ヴェンドロフフラックス再構成法を開発した。
  • 保守変数から原始変数への変換方法を検討し，既存の手法が失敗する場合の代替手法を提示した。
  • 解の物理的許容性を確保するため，高精度解法と低精度解法を組み合わせる手法を導入し，その妥当性を証明した。さらに，複数のテストケースを通して検証を行った。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.05128

• RGNMR：理論的保証を持つロバスト行列補完のためのGauss-Newton法 [cs.CL, cs.LG, cs.NA, math.NA, math.OC, stat.ML]目的：ロバスト行列補完における低ランク行列の復元

  • 行列補完は，データ解析や機械学習において欠損データ処理の基盤技術である。
  • 既存手法は観測エントリ数が多い場合や，ランクの過剰パラメータ化，悪条件行列に対して課題がある。
  • 少ない観測データ，過剰パラメータ化，悪条件行列に対しても有効な復元手法を開発すること。
  • 提案手法RGNMRは，Gauss-Newton線形化と外れ値候補のエントリ除去を組み合わせたシンプルな反復アルゴリズムである。
  • 理論的に，適切な仮定の下で低ランク行列の正確な復元が保証されることが示された。
  • シミュレーション実験により，既存手法と比較してRGNMRの優位性，特に少数の観測エントリへの対応能力が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.12919

• 非線形双曲型偏微分方程式に対する真の多次元定常性保存有限体積法 [math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：非線形双曲型偏微分方程式に対する定常性保存有限体積法の開発

  • 多次元問題の数値解法は，工学や科学の様々な分野で不可欠であり，その精度と安定性が重要である。
  • 従来の有限体積法では，多次元定常状態における各方向からの寄与のバランスが考慮されず，定常状態が拡散されてしまう。
  • 多次元定常状態を正確に保存する有限体積法を開発し，既存法と比較して性能を向上させる。
  • 本研究で提案する定常性保存有限体積法は，多次元の数値フラックスを自然に導入する定常性保存積分戦略に基づいている。
  • 提案手法は，既存の高精度な手法と比較しても，定常解および非定常解に対して優れた性能を示すことが示された。
  • 本手法は，多次元定常状態を拡散させることなく，正確に保存することを可能にする。

  Link: https://arxiv.org/abs/2506.21700

• 対称三角形求積法の収束に関する考察 [eess.SY, cs.SY, eess.SP, cs.CL, math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：対称三角形求積法の収束性

  • 有限要素法において，二次元領域の積分計算に効率的な手法として広く用いられている。
  • 滑らかな被積分関数に対しては，有限次の多項式では正確に積分できない場合がある。
  • 求積点の数を適切に選択し，計算精度とコストのバランスをとることを目指す。
  • 対称三角形求積法において，多項式を$d$次まで正確に積分できる場合，積分誤差は通常$\mathcal{O}(h^{d+1})$となる。
  • しかし，$d$が偶数の場合，$p=d+2$となり，より少ない求積点で同程度の精度が得られる。
  • 特に，疎な行列を生成する局所微分演算子ではなく，密な行列を生成する大域積分演算子に対して効果的である。

  Link: https://arxiv.org/abs/2508.15133

• 不連続ガレルキン時間離散化のコンパクト性に関する一考察 [math.NA, cs.NA]目的：不連続ガレルキン時間離散化のコンパクト性

  • 偏微分方程式の数値解法において，計算精度と効率が重要であるため。
  • 高次の時間離散化法では，安定性と誤差解析が困難な場合がある。
  • 複雑な非線形偏微分方程式に対する高次の不連続ガレルキン時間離散化法の解析を可能とする。
  • 本研究では，パраболической задачиに対する高次の不連続ガレルキン時間離散化の離散コンパクト性に関する結果を，より一般的な関数空間設定に拡張した。
  • 特に，X ↪ B がコンパクトに，B ↪ Y が連続に埋め込まれる一般の Banach 空間 X, B, Y に対する Aubin-Lions-Simon レマの離散版を示した。
  • 時間再構成演算子の性質を利用することで，以前の研究で仮定されていた準一様な時間分割の必要性をなくした。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.20039

• 非対称カーネル行列のスペクトル同値性と応用 [cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：非対称カーネル行列の安定性

  • カーネル法は機械学習やデータ解析において重要な役割を担うため，その理論的基盤の理解が不可欠である。
  • 非対称カーネル行列の安定性解析は未成熟であり，対称カーネル行列と比較して理論的な枠組みが不足している。
  • 有限滑らかさを持つカーネルに対する非対称カーネル行列のスペクトル同値性を確立し，安定性を評価する。
  • 非対称カーネル行列が，わずかなシフトによって対称版とスペクトル的に同値であることが示された。
  • 並進不変性を仮定しない畳み込みカーネルに対する最小固有値の下界が新たに導出された。
  • データの分離距離に基づいて安定性境界を導き出し，カーネル行列の条件数の評価に貢献した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.24561

• グロス・ピタエフスキーエネルギー汎関数に対する事前条件付きリーマン勾配法：アルゴリズム，大域的収束，および最適な局所的収束率 [math.NA, cs.NA]目的：グロス・ピタエフスキーエネルギー汎関数の最小化

  • ボース・アインシュタイン凝縮系の状態を記述する上で重要であり，物性物理学の分野に貢献する。
  • 対称性（位相，回転）により，従来の勾配法では局所的収束が困難である。
  • 事前条件付きリーマン勾配法の最適な事前条件子の導出と，それによる収束率の解析。
  • 事前条件子に関する穏やかな仮定の下で，エネルギー消散と大域的収束が証明された。
  • グロス・ピタエフスキー汎関数がMorse-Bottであると仮定することで，鋭いPolyak-\L ojasiewicz不等式が得られた。
  • 最適な事前条件子は，局所的収束率を最大化する条件数 $(L-\mu)/(L+\mu)+\varepsilon$ であることが示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2510.13516

• 頂点ベースのグラフニューラルソルバーとその線形弾性方程式への応用 [math.NA, cs.NA]目的：可変係数線形弾性方程式の効率的な数値解法

  • 複雑な構造解析において，正確かつ高速な解法が不可欠である。
  • 異方性や不均質な材料，不規則なメッシュが収束を妨げる。
  • グラフニューラルネットワークを用いて，メッシュ非依存な収束性を実現する。
  • 提案手法は，既存の smoothed aggregation algebraic multigrid法よりも優れたロバスト性と収束性を示す。
  • 適応的なグラフフーリエニューラルソルバーは，問題に依存した動的なスペクトル基底を学習することで，可変係数媒体の本質的な多重スケール特徴を捉える。
  • エネルギーノルムとコーンの不等式に基づいた厳密な理論解析により，メッシュ非依存な収束性が保証される。

  Link: https://arxiv.org/abs/2511.21491

• 複数のヤコビ，シルベスター，リッカート方程式を同時に解くための統一された低ランクADIフレームワーク [eess.SY, cs.NA, cs.SY, math.NA]目的：ヤコビ，シルベスター，リッカート方程式の低ランク解法

  • 大規模な線形行列方程式の解法は，計算科学における重要な課題である。
  • 既存のADI法では，方程式の種類ごとに線形方程式を解く必要があり，計算コストが高い。
  • 共通の線形解法を用いることで計算コストを削減し，効率的な解法を確立することを目指す。
  • ヤコビ，シルベスター，リッカート方程式に対する低ランクADI法が，暗黙的にモデル次数縮小を実行するPetrov-Galerkin投影アルゴリズムであることが示された。
  • 提案された統一されたADIフレームワークは，反復ごとに2つのシフトされた線形解法のみを必要とし，複数のヤコビ，シルベスター，リッカート方程式を同時に解くことができる。
  • 線形解法に費やされた計算コストに対する投資収益が大幅に向上し，効率的な解法であることが数値例によって示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.04676

• ミニマックス近似を用いたBoys関数の効率的評価 [cs.DC, math.NA, cs.NA, physics.comp-ph]目的：Boys関数の効率的評価アルゴリズム

  • 量子化学計算において，Boys関数は重要な役割を担うため，その高速化は計算効率向上に不可欠である。
  • Boys関数の計算は，メモリアクセスや演算コストが高く，計算速度のボトルネックとなる場合がある。
  • GPUなどの最新の計算機アーキテクチャに適した，高速かつ効率的なBoys関数評価手法を確立すること。
  • 本研究では，合理的なミニマックス近似と上下方向の漸化式を組み合わせることで，Boys関数の効率的な評価を実現した。
  • 非負の実軸を3つの領域に分割し，それぞれ異なる近似手法を用いることで，メモリアクセスを削減し，スループットを向上させた。
  • 目標とする最大絶対誤差5×10⁻¹⁴に対して，Boys関数F₀からF₃₂までの近似領域と係数を提供した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2512.10059

• 非最小線形時不変系のポートハミルトニアン実現 [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：一般的な線形時不変系のポートハミルトニアン表現の開発手法

  • 制御理論やシステム解析において，エネルギーに基づいた安定性解析が重要視される。
  • 既存手法では，非最小系やフィードスルー項が扱えない場合があり，適用範囲が限定される。
  • 非最小系や特殊なフィードスルー項を持つシステムに対するポートハミルトニアン実現法を確立すること。
  • 提案手法は，システムがポートハミルトニアン性を満たさない場合，その不可能性を識別できる。
  • わずかな摂動を加えることで，近いポートハミルトニアン系を得ることも可能である。
  • 数値例を通して，本手法の有効性が確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2201.05355

• 線形および非線形フラクショナル反応拡散方程式に対する量子アルゴリズム [quant-ph, cs.NA, math.NA]目的：線形および非線形フラクショナル反応拡散方程式に対する効率的な量子アルゴリズム

  • 生物，化学，物理学に応用があり，複雑な現象を伴うため，高次元フラクショナル反応拡散方程式の研究は重要である。
  • 古典的アルゴリズムは空間次元に対して指数時間複雑度を持つため，計算コストが高いという課題がある。
  • 量子計算機を用いて，空間次元に対する多項式時間複雑度で解を求めることによって，この問題を解決する。
  • 線形方程式に対し，様々な手法の複雑度を分析し，最適なスケーリングを持つ新しいアルゴリズムを提案した。
  • 非線形方程式にはカルマン線形化法とブロックエンコーディングを組み合わせ，空間離散化に適した手法を提示した。
  • 量子コンピュータによる高次元フラクショナル反応拡散方程式の効率的な解法への道を開いた。

  Link: https://arxiv.org/abs/2310.18900

• 線形非ユニタリ動力学のための量子アルゴリズム：全てのパラメータに対するほぼ最適な依存性 [quant-ph, cs.NA, math.NA]目的：線形非ユニタリ動力学の量子アルゴリズム

  • 量子計算は，古典計算では困難な問題を解決する可能性を秘めており，科学技術の進歩に貢献する。
  • 線形非ユニタリ動力学のシミュレーションには，多くの量子資源が必要であり，効率的なアルゴリズムが求められていた。
  • 全てのパラメータに対して最適なスケーリングを持つ，線形微分方程式を解く量子アルゴリズムの開発。
  • 本研究では，線形非ユニタリ進化演算子をユニタリ進化演算子の線形結合として表現する恒等式を導入した。
  • この定式化により，最近導入されたLCHS法の精度が指数関数的に向上することが期待される。
  • 状態準備コストとパラメータに対する量子クエリのスケーリングが最適に近い，線形微分方程式を解くアルゴリズムを実現した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2312.03916

• 変分量子アルゴリズムのためのカーネル降下最適化手法の導入 [quant-ph, cs.NA, math.FA, math.NA]目的：変分量子アルゴリズムの関数最小化

  • 近年の量子コンピュータ研究は，NISQデバイスでの量子優位性を目指しており，変分量子アルゴリズムはその有望な候補である。
  • 既存の最適化手法では，複雑な関数形状への対応や収束の遅延といった課題が存在する。
  • カーネル降下法により，より効率的かつ安定した関数最小化を実現し，変分量子アルゴリズムの性能向上を目指す。
  • カーネル降下法は，既存の勾配降下法や量子解析降下法と比較して，特定のシナリオで優れた性能を示した。
  • このアルゴリズムは，目的関数の古典的な局所近似を反復的に計算し，それに基づいて古典的な最適化ステップを実行する。
  • 再生核ヒルベルト空間技術を用いることで，局所近似の精度を高め，より効率的な最適化を可能にする。

  Link: https://arxiv.org/abs/2409.10257

• 代数統計における多水準サンプリング [stat.CO, cs.NA, math.NA]目的：代数統計におけるファイバーサンプリング問題に対する多水準サンプリングアルゴリズム

  • 統計モデリングにおいて，高次元離散確率分布からの効率的なサンプリングは不可欠である。
  • 従来のマルコフ連鎖モンテカルロ法では，ファイバーからのサンプリングに時間がかかり，収束が遅い場合がある。
  • 本研究は，多水準サンプリングを用いることで，ファイバーサンプリングの効率化と精度向上を目指す。
  • 提案手法は，変数ステップサイズを用いることで探索を加速し，ウォームアップ期間を短縮する。
  • ファイバーカバレッジスコア(FCS)という新たな指標を導入し，サンプルの質を評価する。
  • シミュレーションの結果，提案手法は単純なMCMC法よりも優れた性能を示すことが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2505.04062

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