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数値解析 - 2025/10/14 公開

• 高階非線形時間発展方程式に対する直接PinTアルゴリズム [cs.CL, math.NA, cs.NA]目的：高階非線形時間発展方程式の解法

  • 固体力学，材料科学，流体力学など，科学技術の幅広い分野で利用される。
  • 従来のタイムステップ法では計算コストが高く，大規模問題への適用が困難である。
  • 時間並列化により計算効率を向上させ，大規模問題への適用を可能にすること。
  • 時間離散化行列Bの対角化により，一括して方程式を解く直接時間並列アルゴリズムを提案。
  • 特性方程式とチェビシェフ多項式との関係を利用し，Bの固有ベクトル行列Vと逆行列V⁻¹の解析解を導出。
  • 提案アルゴリズムの計算速度向上を数値実験により実証。

  Link: https://arxiv.org/abs/2507.05743

• HYLU：ハイブリッド並列スパースLU分解 [cs.AR, cs.DC, cs.MS, cs.NA, math.NA]目的：スパース線形方程式系（Ax=b）の効率的な解法

  • 科学技術計算において，線形方程式系の解法は不可欠であり，その性能が計算全体のボトルネックとなる場合がある。
  • スパース行列の特性は多様であり，既存のソルバーでは特定のパターンに最適化されてしまう場合がある。
  • 様々なスパースパターンに対応可能な，高性能な線形ソルバーの開発が求められている。
  • HYLUは，ハイブリッド数値カーネルを統合することで，様々なスパースパターンに適応する。
  • SuiteSparse Matrix Collectionの34個のスパース行列を用いたテストの結果，HYLUはIntel MKL PARDISOを上回る性能を示した。
  • 一回限りの解法では平均1.71倍，繰り返し解法では平均2.21倍高速であった。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.07690

• 符号化回折パターンからの位相復元におけるPhaseLiftの復元性能 [math.NA, cs.IT, cs.NA, math.IT]目的：符号化回折パターンを用いたフーリエ計測における位相復元問題に対するPhaseLiftアルゴリズムの復元性能の評価

  • 位相復元は，X線結晶構造解析やMRIなど，様々な画像再構成問題の基礎となる重要な技術である。
  • ノイズ存在下におけるPhaseLiftの安定性に関する理論的な保証は十分ではなく，復元誤差の評価が課題であった。
  • PhaseLiftの復元誤差が，平均ノイズの大きさに依存するSoltanolkotabiの予想を理論的に証明することを目指す。
  • 敵対的ノイズ条件下において，PhaseLiftの復元誤差は$O\xkh{ \sqrt{\frac{\norm{\vw}\log n }{\sqrt m}}}\norm{\vx_0}$で上限されることが示された。
  • 平均ゼロの亜ガウスノイズベクトルの場合，復元誤差の上限と対応するミニマックス下限が提供された。
  • これらの結果は，Soltanolkotabiの予想に大きく貢献し，ノイズの多い符号化回折パターン計測におけるPhaseLiftの安定性に関する新たな知見を提供する。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.10300

• フォッカー・プランク方程式からの分布学習のためのニューラルプッシュフォワードサンプラー：弱 Adversarial 学習による手法 [math.NA, cs.NA]目的：フォッカー・プランク方程式の解分布を学習するためのニューラルサンプラー

  • フォッカー・プランク方程式は，物理，生物，金融など多岐にわたる分野で確率過程を記述する上で重要である。
  • 従来の偏微分方程式ベースの手法では，高次元問題や複雑な方程式に対して計算コストが高く，精度が課題となる場合がある。
  • 弱形式に基づく Adversarial 学習により，モンテカルロ重要度サンプリング問題として解くことで，これらの課題を克服することを目指す。
  • 本手法では，フォッカー・プランク方程式の随伴作用素を利用した弱形式化により，ニューラルプッシュフォワードマップを学習する。
  • 単純な平面波テスト関数を用いることで，テスト関数の微分を明示的に計算し，確率保存性を備えた自然な重要度サンプリング戦略を実現する。
  • これにより，フォッカー・プランク方程式の解分布を効率的に構築することが可能となる。

  Link: https://arxiv.org/abs/2509.14575

• 非常に高次元なセミリニア放物型偏微分方程式に対する導関数を用いない局所確率的解法 [math.NA, cs.NA]目的：高次元セミリニア放物型偏微分方程式の解法

  • 高次元偏微分方程式は，金融，物理学，工学など幅広い分野で現れるため重要である。
  • 従来の解法は，次元の呪いにより，高次元問題への適用が困難である。
  • 本研究は，高次元問題でも効率的に解を求められる確率的解法を提案する。
  • 提案手法は，マルチンゲール表現，小規模確率粒子法，行列を用いないソルバー，ニュートン反復を組み合わせることで効率性を実現している。
  • 従来の決定論的解法とは異なり，本手法は局所的な計算スキームにより並列化が容易である。
  • 数値実験により，提案手法は100次元から10000次元までの問題に対して，高い精度と効率性を示すことが確認された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2510.02635

• 量子熱平均に対するリー・トロッター近似の最適収束レート [quant-ph, cs.CC, quant-ph, cs.NA, math-ph, math.MP, math.NA, math.PR]目的：量子熱平均のリー・トロッター近似誤差の定量的な解析

  • 量子統計力学の経路積分法は，物理学において広く用いられている重要な手法である。
  • リー・トロッター近似の誤差評価は困難であり，特に有界でないハミルトニアンに対する厳密な評価が課題である。
  • 広範なハミルトニアンに対するリー・トロッター近似の誤差を数学的に厳密に評価し，経路積分シミュレーションの精度向上を目指す。
  • 滑らかで周期的なポテンシャルを持つ粒子系において，分割数Nに対する収束レートが $\mathcal O(1/N^2)$ であることを証明した。
  • より困難な，実数直線上の閉じ込めポテンシャルを持つ系に対しても，ほぼ最適なレート $\mathcal O((\log N+1)^{\frac32}/N^2)$ を示した。
  • 得られた誤差評価は，量子統計力学における経路積分シミュレーションの高精度化を数学的に裏付ける。

  Link: https://arxiv.org/abs/2309.05188

• 保存則を満たす曲線高次ミメティック差分 [math.CO, cs.CG, math.MG, math.AP, cs.NA, math.NA]目的：曲線座標系におけるミメティック演算子の構築と利用

  • 複雑な形状でのシミュレーション精度向上が重要であり，従来の差分法では課題があった。
  • 曲線座標系での保存則を満たす離散演算子の設計が困難であり，精度低下や不安定性を招く。
  • 曲線座標系においても保存則を厳密に満たす，高次のミメティック演算子を開発すること。
  • 提案手法により構築された曲線座標系上の演算子は，拡張ガウスの発散定理の離散版を満たすことが証明された。
  • 音響波動方程式において，曲線座標系でのエネルギーと質量の保存が確認された。
  • 二次元および三次元の楕円/双曲線方程式への適用を通して，提案手法の有効性が示された。

  Link: https://arxiv.org/abs/2407.01443

• H-DES：量子古典ハイブリッド微分方程式ソルバー [quant-ph, cs.NA, math.AP, math.NA, math.OC]目的：微分方程式系の解法

  • 科学技術計算の根幹であり，自然現象のシミュレーション等に不可欠な分野である。
  • 古典的な解法では，計算コストが指数関数的に増加する複雑な問題が存在する。
  • 量子計算を活用し，古典的な手法では困難な問題を効率的に解決することを目指す。
  • 変分量子アルゴリズムに基づく新しい量子古典ハイブリッドアルゴリズムを提案した。
  • 試行関数をスペクトル分解することで，微分方程式の解を最適化問題に変換した。
  • エミュレーターと実機で検証を行い，多様な微分方程式への適用可能性を示した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2410.01130

• オイラー多項式の極値根に対する漸近的に正確な境界を定める方法：多項式安定性保存者を用いたアプローチ [physics.soc-ph, cond-mat.stat-mech, cs.DL, cs.SI, math.CO, cs.NA, math.AG, math.NA, math.OC]目的：多変量実数多項式の極値根を大域的に評価するための手法

  • 多項式最適化は，様々な分野で重要な役割を担っており，効率的な求解手法が求められている。
  • 厳密凸集合のスペクトラヘドロン表現構築には，大規模な行列が必要となり，計算コストが高いという課題がある。
  • オイラー多項式に着目し，変数増加による緩和の性能改善を目指す。
  • 多項式の次数3の切り捨てを利用した緩和により，比較的容易にスペクトラヘドロンを構築可能である。
  • オイラー多項式に対し，変数増加と緩和を組み合わせることで，境界の漸近的改善が確認された。
  • 既存の境界と比較し，緩和によって得られた境界が実際の根にどれだけ近いかを評価した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2503.04628

• 三次元乱流コルモゴロフ流れのクリーン数値シミュレーション [physics.flu-dyn, cs.NA, math-ph, math.MP, math.NA, nlin.CD]目的：三次元乱流コルモゴロフ流れの数値シミュレーションにおける数値ノイズの影響評価

  • 乱流は科学技術の幅広い分野で重要であり，流体現象の理解に不可欠である。
  • 従来の数値シミュレーション(DNS)は数値ノイズの影響を受けやすく，正確な乱流解析が困難である。
  • 本研究は，より高精度なクリーン数値シミュレーション(CNS)を用いて，乱流における数値ノイズの影響を定量的に評価する。
  • 三次元乱流コルモゴロフ流れにおいて，従来のDNSによる時間空間的な軌跡は，数値ノイズによって迅速に汚染されることが示された。
  • DNSの結果は，空間的な対称性，エネルギーカスケード，統計量において，CNSによるベンチマーク解から有意なずれを示すことが明らかになった。
  • CNSは，DNSに比べて，truncation誤差とround-off誤差を大幅に低減し，数値ノイズを無視できるレベルに抑えることができる。

  Link: https://arxiv.org/abs/2507.11805

• 非単項行列多項式に対する長方形ブロックハンケル行列を用いた一般化されたHurwitz安定性判定法 [math.OC, cs.NA, math.NA]目的：非単項行列多項式のHurwitz安定性判定

  • 制御理論やシステム解析において，システムの安定性は重要な性質である。
  • 従来のHurwitz安定性判定法は単項行列多項式に限定されており，より一般的なケースへの適用が困難であった。
  • 本研究は，非単項行列多項式に対しても適用可能な，より一般的な安定性判定法を開発することを目指す。
  • 列約約を用いた新たなMarkovパラメータの定義により，安定性判定のための構造化行列を構築した。
  • 構築された長方形ブロックハンケル行列のHermite正定性によって，列約約された行列多項式のHurwitz安定性を判定できることを示した。
  • 本手法は，Gantmacherの古典的な安定性判定法を自然に拡張するものである。

  Link: https://arxiv.org/abs/2508.14376

• 連続時間線形二次計画問題に対するオーバーラッピングSchwarz法 [math.OC, cs.CE, cs.DC, cs.NA, math.DS, math.NA]目的：連続時間線形二次最適制御問題の解法

  • 最適制御は，工学や経済学など，様々な分野で重要な役割を果たす
  • 既存手法では，離散化手法に依存し，柔軟性に欠ける場合がある
  • 連続時間における効率的な最適化手法の開発と，適応時間積分との組み合わせ
  • 提案手法は，最適化後に離散化を行うことで，柔軟な数値積分法の利用を可能にする。
  • オーバーラッピングSchwarz分解により，時間領域を分割し，各部分問題を独立して解く。
  • 連続時間最適制御問題においても，離散時間問題と同様の指数減衰感度(EDS)が成立することを証明した。

  Link: https://arxiv.org/abs/2510.04478

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